3.3. Свойства некоторых углов

3.3.1.Теорема о трёх косинусах

№ 36. К плоскости равностороннего треугольника АВС со стороной а через вершину А проведён перпендикуляр, на котором отложен отрезок AZ длиной а. Найти тангенс угла между прямыми AВ и ZC.

План решения.

1.Построения.

Прямая р: Ср, р || AB.

2. ZС – наклонная, АС –проекция,

р – прямая в плоскости.

В обозначениях теоремы о трёх

косинусах

ZCA=α, ACK=β, ZCK=γ

γ – искомый угол.

3. Угол α. 4. Угол β. 5. cos γ (по теореме о трёх косинусах). 6. sinγ, tgγ.

Ответ:

№ 37. Проекция равностороннего треугольника на плоскость, проходящую через его сторону, является прямоугольным треугольником. Найти угол между стороной данного треугольника и плоскостью проекций.

План решения.

1. Построения:

ВОτ, ВСО – искомый.

2. ВСА, ОСА.

3. ВС – наклонная, ОС –

проекция, АС – прямая.

cos ВСО (по теореме о трёх

косинусах).

Ответ: 45.

№ 38. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами ₁ и ₂. Найти угол между этими диагоналями.

П лан решения.

Рассмотрим плоскость боковой грани АА₁В₁В, прямая AD₁ – наклонная к этой плоскости, АА₁- её проекция, АВ₁ – прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной.

1.

, (в обозначениях

теоремы о трёх косинусах)

2. 3. 4. cos γ. 5. γ.

Ответ:

№ 39. Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно из рёбер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол её при взятой вершине призмы равен 2.

П лан решения.

1. СС₁ – наклонная к плоскости

основания призмы, СВ – проекция,

АС – прямая. В обозначениях

теоремы о трёх косинусах

С₁СВ=α, АСВ=β, С₁СА=γ

2. Выразить С₁СА через 2.

3. cos α. 4. sin α. 5. СС₁.

6. S_{сечения}.

Ответ:

№ 40. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.

План решения.

1. SDE.

2. ODE.

3. В обозначениях теоремы о трёх косинусах

SDE=γ, ODE=β, SDO=α,

где SD – наклонная к плоскости основания

пирамиды, OD – её проекция, DE  прямая.

Составить уравнение ( ).

4. Решить уравнение относительно .

Ответ: .

№ 41. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, а плоский угол при вершине равен 2. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

План решения.

1. PCD.

2. OCD.

3. cosPCO (по теореме о трёх косинусах):

РС – наклонная, ОС – проекция, DC – прямая.

4. sinPCO.

5. PC.

6. S_DPC.

7. S_{боковой поверхности пирамиды}.

Ответ: