18. Формула Тейлора.
Пусть функция f ( x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула
19. Необходимые и достаточные условия локального экстремума.
Необходимые условия существования локальных экстремумов
Из леммы Ферма вытекает следующее:
Пусть точка является точкой экстремума функции f, определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .
Достаточные условия существования локальных экстремумов
Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и
является точкой локального максимума. А если
и
то является точкой локального минимума.
24.Метод непосредетвенного интегрирования
~ Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-
ждественных преобразований подынтегральной функции (или выражения)
и применения свойств неопределенного интеграла приводится
к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным
интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используются
следующие преобразования дифференциала (операция «nодведения
под знак: дuфференцuала»):
du = d(u + а), а - число,
du = 1/а*d(au), а ≠О - число,
u* du = 1/2d(),
2
cos u du = d(sin u),
sinudu = -d(cosu),
du = d(ln u),
du = d(tgu).
26) Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рациональная ф-я – дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x)- некоторые многочлены от x, с действит коэф.Рациональная ф-я называется правильной рац. Дробью, если deg(степень) P(x)< deg Q(x). С помощью деления с остатком, интнгрирование произвольной рац. ф-и сводится к интегрированию многочлена и правильной рац. дроби. В общем случае для интегрирования правильной рац. дроби необходимо разложить ее в сумму прстейших рац. дробей и проинтегрировать каждую из полученных простейших дробей. Простейшими дробями называется – 1. Дроби вида A/x+a - I тип 2. A / (x+a )^n, n>1, - II тип 3. Ax + B / x^2 +px +q, p^2 -4q<0 - III тип 4. Ax + B / (x^2 +px +q)^n, n>1, p^2 -4q<0 –IV тип Разложение дроби в сумму простейших дробей можно искать методом неопред. коэффицентов.
(x,y,…) – рациональная ф-я от x,y,…Подстановка рацианализирует подинтегральную ф-ю, если после подстановки получается интеграл от рациональной ф-ции. Интегрир-е ф-ций вида:R(x,(√αx+β ∕ √γx+υ)^n1,(√αx+β ∕ √γx+υ)^n1,…) Пусть m=Н.О.К корней, кот. здесь присутствуют (n1,n2,…) t=(√αx+β ∕ √γx+υ)^m=>t^m= αx+β ∕ γx+υ выразим x: x=υt^m-β ∕α-γt^m dx=((mυt)^m-1(α-γt^m)+mγt^m-1(υt^m-β) ∕ (α-γt^m)²)*dt (√αx+β ∕ √γx+υ)^n1=t^(m ∕ n1) (m/n1-целое) x=…-рац dx=(рац.ф.)dt
33)Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
u1-u2+u3-u4+….+(-1)n+1un+…..= ∑∞n=1 (-1)n+1un ,
где un>0для всех n € N (т.е ряд , положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).
ТЕОРЕМА(признак Лейбница). Знакочередующийся ряд если :
1.Последовательность абсолютных величин членов ряда многотонно убывает , т.е u1>u2>u3>….un>….. ;
2. Общие член ряда стремится к нулю :limn→∞ un=0.
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам 0<S<u1.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся ,если ряд ,составленный из модулей его членов ,сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся ,если сам сходится ,а ряд, составленный из модулей его членов ,расходится .
Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства .
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд , полученный из него перестановкой членов ,также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд(теорема Дирихле) .
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1+S2(или соответственно S1-S2).
Под произведением двух рядов u1+ u2+….и u1+u2+…..понимают ряд вида
(u1u2)+(u1u2+u2u1)+(u1u3+u2u2+u3u1)+…..
…+(u1un-1+…..+unu1)+…..
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд ,сумма которого равна S1 × S2.
34) Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
∞
∑ anxn =a0+a1x+anx2+……+anxn+…..степенной ряд.
n=0
Действительные (или комплексные)числа a0,a1,a2,......,an,……называются коэффициентами ряда ,x € Ɍ
Степенной ряд ,расположенный по степеням (x-x0).
Теорема Н.Абеля
Если степенной ряд сходится при x=x0≠0, то он абсолютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству │x│<│x0│.
Следствие Если ряд расходится при x=x1,то он расходится и при всех x,удовлетворяющих неравенству │x│>│x1│.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теорема Абеля следует ,что если x0≠0есть точка сходимости степенного ряда ,то интервал (-│x0│;│x0│)весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд расходится.
(ИНТЕРВАЛ)начертить
(-│х0│; │х0│) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Положив │х0│= Ɍ,интервал сходимости можно записать в виде (-R;R).
R-радиус сходимости степенного ряда, т.е. R >0-это такое число ,что при всех х , для которых │х│ < R ,ряд абсолютно сходится при всех значениях х € R(т.е во всех точках числовой оси),то R =∞
на концах интервала сходимости (т.е при х=R и при х= -R ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно .
R=limn→∞│an │ . R= .
1.Если limn→∞││=0, то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.R=∞. Если limn→∞││=∞,то R=0.
2. Интервал сходимости степенного ряда имеет вид (х0 –R;х0+R).
3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд , то интервал сходимости ряда находят непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда , составленного из модулей членов данного ряда.
Пример найти область сходимости ряда ∑∞ .
n=0
Решение R=limn→∞││ =lim n→∞ = limn→∞(n+1)=∞ ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.