- •10) Метод искусственного базиса.
- •11) Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства.
- •12) Основные теоремы двойственности.
- •13) Объективно обусловленные оценки и их смысл.
- •14) Экономико – математическая модель транспортной задачи.
- •15) Нахождение первоначального базисного распределения поставок.
- •16) Критерий оптимальности базисного распределения поставок.
- •17) Распределительный метод решения транспортной задачи.
- •18) Открытая модель транспортной задачи.
- •19) Вырождение в транспортных задачах.
10) Метод искусственного базиса.
Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных Ri со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).
Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.
Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F, а другая – для составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные (xn+m) и искусственные (Ri)- базисными.
Исходная таблица для "Метода искусственного базиса" имеет следующий вид:
|
x1 |
x2 |
... |
xn-1 |
xn |
b |
F |
-a0,1 |
-a0,2 |
... |
-a0,n-1 |
-a0,n |
-b0 |
xn+1 |
a1,1 |
a1,2 |
... |
a1,n-1 |
a1,n |
b1 |
xn+2 |
a2,1 |
a2,2 |
... |
a2,n-1 |
a2,n |
b2 |
Ri |
ai,1 |
ai,2 |
... |
ai,n-1 |
ai,n |
bi |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
xn+m |
am,1 |
am,2 |
... |
am,n-1 |
am,n |
bm |
M |
-∑ai,1 |
-∑ai,2 |
... |
-∑ai,n-1 |
-∑ai,n |
-∑bi |
Элементы дополнительной строки M рассчитываются как сумма соответствующих коэффициентов условий-равенств (условий в которые после приведения к каноническому виду введены переменные Ri) взятая с противоположным знаком.
11) Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства.
Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции
(32)
при условиях
(33)
(34)
Определение 1. Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции
(35)
при условиях
(36)
(37)
называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:
1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.
2. Матрица
(38)
составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица
(39)
в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).
3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.
4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи.
5. Если переменная xj исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j–е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “? ”. Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе (54) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i–я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная уj может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.