15. Производственные функции затрат ресурсов. Уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого.

Уравнение, дающее представление, как эффект спроса на товары в зависимости от изменений в их ценах может быть разложен на эффект замещения, который показывает эффект изменений в относительных ценах при неизменном уровне реального дохода, и эффект дохода , который демонстрирует эффект изменения в реальном доходе при постоянных ценах.

СЛУЦКОГО УРАВНЕНИЯ — уравнения, характеризующие количественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательского спроса — с другой. Наиболее просто основное уравнение Слуцкого формулируется так:

Изменение спроса = Эффект изменения дохода +эффект замещения

Иными словами, изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из двух частей: влияния непосредственного изменения спроса (т. е. изменения реальной возможности приобретать данный товар в результате изменения цены на него) и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары (Компенсированное изменение цены).

17.Частные производные. Градиент. Производная сложной функции.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции   определяется следующим образом:

Следует обратить внимание, что обозначение   следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной  , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции:  , где   — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа   является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение   в выражении  .

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции   в точке   по координате   равна производной   по направлению  , где единица стоит на  -ом месте.

Градие́нт — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

и = f(x, у, z), заданной в некоторой обл. пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями   обозначаемый символами: grad  где i, j, k — координатные орты. Г. ф. — есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении Г. ф. в данной точке достигает наибольшего значения и равна:  Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции. Г. ф. в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Эффективность использования Г. ф. при литологических исследованиях была показана при изучении эоловых отл. Центральных Каракумов.

Производная сложной функции

Пусть у = f(u) и u = φ(х), тогда у = f( φ(х)0 - сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема Если функция u = φ(х) имеет производную u_x' в точке х, а функция у = f (u) имеет производную y_u' в соответствующей точке u = φ(x). то сложная функция у = f(φ(x)) имеет производную y_x' в

точке х, которая находится по формуле y_x' = y_u'* u_x'.

По условию lim(Δu0)Δy/Δu= y_u' Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем Δy/Δu = y_u'+α или Δy=y_u'*Δu+α*Δu (1)где α О при Δu О.

Функция u =φ(х) имеет производную в точке х: lim(Δx0) Δu/Δx=u_x', поэтому Δu=u_x'*Δx+β*Δx, где β0 при Δx0.

Подставив значение Δu в равенство (1), получим Δy=y_u' (u_x'*Δx+β*Δx)+α(u_x'*Δx+β*Δx), т.е. Δy= y_u' *u_x' * Δx+ y_u'*β* Δx+ u_x' *α* Δx+α*β*Δx.

Разделив полученное равенство на Δx и перейдя к пределу при Δх О, получим y_x'= y_u'* u_x'

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Формула нахождения производной сложной функции.