6.Техника дифференцирования. Приложения к экономике.

Правила дифференцирования При дифференцировании константу можно выносить за производную:    Правило дифференцирования суммы функций:    Правило дифференцирования разности функций:    Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):    Правило дифференцирования частного функций:    Правило дифференцирования функции в степени другой функции:    Правило дифференцирования сложной функции:    Правило логарифма при дифференцировании функции:

Применение производной в экономике.

1.производительность труда. Пусть функция q=q(t) выражает объем q произведенной за время(t) продукции и пусть требуется найти производительность труда в момент времени t_0.

Средняя производительность за период равна: Δq/Δt. Тогда производительность труда в момент t₀.

q'(t)=lim(снизу Δt0) Δq/Δt

другая постановка задачи: пусть количество продукции q зависит только от приложенного труда Х ( для фирмы это число персонала) : q=q(x). Если число работников «а» велико, то приращение Δа=1 можно считать достаточно малым, чтобы воспользоваться приближенным равенством :

q'(a) ≈ Δq/Δa =(q(a+1)-q(a))/1=q(a+1)-q(a), откуда q(a+1)= q(a)+ q'(a).В данном случае q'(a) есть дополнительная продукция , произведенная новым сотрудником за единицу времени.

Пусть v- цена продукции, а р – з\п работника за единицу времени. Тогда если vq'(a)> p, то надо нанять еще одного работника , так как он приносит фирме больше, чем она ему платит. Это правило называется золотым правилом экономики

2. Себестоимость продукции. Рассмотрим зависимость себестоимости С произведенной продукции от ее объема q:С=С(q). Предельной себестоимостью называют величину MC≈lim(Δq0)ΔC/Δq=C'(q). Возможна и другая постановка задачи о производительности. Пусть количество продукции q зависит только от приложенного труда х( для фирмы это просто численность персонала):q=q(x). Для оценки эффективности производства часто применяется средняя производительность, которая в данном случае определяется в виде отношения q/x. Однако возникает вопрос: как изменится объем продукции при изменении численности персонала? Ответ на этот вопрос можно получить , введя понятие предельной производительности. Это- производная от продукции q по величине приложенного труда х: q'=Δq/Δx. Предельная производительность при такой подстановке задачи приближенно равна изменению объема выпускаемой продукции при изменении численности персонала на единицу.

7.теоремы ферма,роля,лагранжа ,коши т их геометр. Смысл

Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х):

1) непрерывны на отрезке [а ; b];

2) дифференцируемы в интервале (а ; b);

3) g'(x) ≠ 0 в этом интервале,

то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство

8.правило лопиталя. Формула тейлора

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

, где Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора.

Правило Лопиталя. Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x), то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x), когда предел конечный или бесконечный.

Раскрытие /. Второе правило.

Если lim(xa)f(x)= lim(xa)g(x)=, то lim(xa)f(x)/g(x)= lim(xa)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x,x-,x+,xa-,xa+.

Неопред-ти вида 0, -, 0^0, 1^, ^0.

Неопр. 0, - сводятся к 0/0 и / путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^, ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0

9. признак монотонности.необходимые и достаточные условия локального экстремума.

Необходимые : Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции f , определенной в некоторой окрестности точки . Тогда либо производная не существует, либо .

• Достаточные условия. Пусть функция   непрерывна в   и существуют конечные или бесконечные односторонние производные  . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то   является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

*Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке  . Тогда при условии

 и  ,  является точкой локального максимума. А если

 и  ,то   является точкой локального минимума.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция   Тогда

• функция   называется возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется убыва́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го убыва́ющей на  , если

.