Принятие решений в конфликтных ситуациях

Рассматривая управление в иерархических системах, мы установили наличие самостоятельных целей на всех уровнях управления. При этом, принимая решения, на­пример, при составлении плана, подсистемы исходят из целей, по крайней мере, не противоречащих цели всей системы, а при согласованном управлении интересы под­систем управления всех уровней просто совпадают. Такие задачи носят название задач оптимизации благодаря по­иску оптимума на множестве значений всех переменных, входящих в решение задачи.

Кроме задач оптимизации существует достаточно ши­рокий класс задач, в которых элементы системы имеют цели, не согласованные с целью всей системы. Более того, такие системы могут иметь цели, несовпадающие и даже противоположные цели системы в целом. В таких случаях говорят, что возникает конфликтная ситуация.

Примером конфликтной ситуации является взаимодей­ствие покупателя и продавца на рынке. Продавец стремит­ся продать товар по возможно более дорогой цене, его целью является максимизация дохода. Покупатель хочет приобрести этот же товар по наиболее дешевой цене, его цель — минимизация затрат. Целя покупателя и продавца прямо противоположны.

Другим примером конфликтной ситуации является взаимодействие между предприятием и его руководящим органом — объединением или министерством при несогла­сованном управлении. Если министерство определяет план предприятия на основании сообщаемых самим предприя­тием производственных возможностей, то при отсутствии соответствующих стимулов предприятия занижают свои возможности. При этом они получают ненапряженные планы, которые легко выполняются и перевыполняются. Так как оценка деятельности предприятия определяется степенью выполнения плана, то они без труда получают за свою работу различные поощрения. Министерство, в свою очередь, стремится установить предприятию напря­женный план, чтобы повысить эффективность работы отрасли. В этом случае может возникнуть конфликтная ситуация, в результате которой либо предприятию удается достичь своей цели, что противоречит интересам народно­го хозяйства, либо оно получает нереальный план, без учета фактических возможностей, что в конце концов то­же дает отрицательный эффект с точки зрения народного хозяйства в целом.

Еще сравнительно недавно конфликтные ситуации не считались предметом рассмотрения точных наук. Однако около пятидесяти лет назад появилась новая математиче­ская дисциплина, специально занимающаяся исследова­нием конфликтных ситуаций — теория игр.

Азартные игры оказались хорошей моделью конфликт­ных ситуаций в управлении. В обоих случаях два или более участников, или конфликтующих сторон, преследу­ют противоположные цели: каждая сторона стремится увеличить свой «выигрыш» в некотором смысле, что по условиям игры или конфликта, неизбежно влечет за со­бой «проигрыш» другой стороны.

Каждый из участников конфликта с целью максимизи­ровать свой выигрыш или минимизировать проигрыш мо­жет выбирать значения некоторых переменных из множества возможных значении. Выбор значений этих пере­менных является компетенцией лишь данного участника конфликта. Так, при игре в рулетку каждый игрок сам определяет, на какую цифру сделать ставку.

В этом и заключается основная разница между задача­ми оптимизации и принятием решений в конфликтных ситуациях.

В первом случае имеется одна цель, и значения пере­менных должны быть выбраны таким образом, чтобы обеспечить экстремальное значение целевой функции, хо­тя бы и с частичным ущербом для некоторых участников. Во втором случае каждый участник конфликта имеет свою цель, противоположную другим, и стремится ее удовлет­ворить, не думая в общем случае пи о каких общих с другими участниками интересах.

Теория игр рассматривает, какими правилами должны пользоваться участники конфликта, каким критериям должны удовлетворять принимаемые решения, в чем собственно состоит сам процесс принятия решений.

Будем в дальнейшем называть участников конфликта игроками, как это принято в теории игр. Как было сказа­но, каждый игрок может, но своему усмотрению выбирать решение, представляющее собой набор значений некото­рых переменных, из множества возможных решений. Каж­дое решение из этого множества назовем стратегией. Таким образом, стратегия игрока определяет набор значе­ний переменных, выбор которых входит в его компетен­цию.

Игроки обязаны соблюдать определенные правила, которые называются правилами игры.

Рассмотрим двух игроков, I и II. Игрок I может выби­рать одну из стратегий множества А = {а₁, а₂,..., а_i,..., а,}, игрок II из множества В={b₁,b₂,.. b_j,..., b_п}. В общем случае . Так как игроки выбирают каждый раз по одной стратегии, мы всегда имеем пару стратегий (a₁,b₁). После того, как игроки выбрали свои стратегии, каждый из них получает свой выигрыш (или проигрыш), размер которого зависит от сочетания стратегий. Поставим в со­ответствие каждой паре стратегий функции и , определяющие соответственно выигрыш игро­ков I и II после выбора ими стратегий a_i и b_i

Если множества А и В содержат конечное число эле­ментов, то выигрыши, соответствующие каждой паре стратегий, можно представить в виде матрицы, называемой матрицей выигрышей, или платежной матрицей. Такие игры называют матричными.

По строкам матрицы расположены стратегии одного игрока, а по столбцам — другого. В находящейся на пере­сечении строки и столбца клетке платежной матрицы, со­ответствующей паре стратегий (а_i, b_j), записаны два чис­ла — выигрыши игроков при таком выборе ими стратегий, т.е. и .

Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, =- , такую игру называют игрой с нулевой суммой. Для игры с нулевой суммой в каждой клеточке платежной матрицы достаточно записать одно число, соответствующее выигрышу одного из игроков, так как второе число равно первому по величине и имеет про­тивоположный знак.

Для математического определения игры достаточно определить множества стратегий игроков, функции выиг­рыша и правила игры.

Рассмотрим для примера игру двух игроков о нулевой суммой, напоминающую игру «чет-нечет». Каждый игрок независимо от другого выбирает карточку одного из двух цветов — белую или красную, причем выбор цвета против­ником ему неизвестен. Затем игроки одновременно откры­вают выбранные ими карточки. В зависимости от получен­ной комбинации цветов определяется выигрыш или про­игрыш каждого игрока по заранее им известной платеж­ной матрице.

Множества стратегий А и В состоят ив двух элемен­тов — белый (Б) и красный (К) каждое: Л={Б, К}; В={Б, К}. Предположим, что в зависимости от комбина­ции элементов платежи условились принять такими: если оба игрока выберут белые карточки (комбинация Б, Б), второй игрок платит первому 2 копейки; обе карточки крас­ные (К, К) — второй платит первому 1 копейку; у первого белая, у второго красная (Б, К) — первый платит второму 1 копейку; у первого красная, у второго белая (К, Б) — первый платит второму 2 копейки. Как видим, игра спра­ведливая, оба игрока имеют равные возможности выиграть или проиграть.

Принятые условия могут быть представлены в виде платежной матрицы, в которой записаны выигрыши для первого игрока, являющиеся одновременно проигрышами второго:

II	Б	К
Б	2	-1
К	-2	1

В описанной игре каждая партия игры закапчивается после однократного выбора игроками карточек, т. е. после того, как каждый игрок сделает по одному ходу.

Существуют игры, где партия заканчивается после мно­гих ходов — шахматы, домино, большинство карточных игр. В таких многоходовых играх один ход не определяет однозначно стратегию игрока; выбранная стратегия дает игроку право выбора очередного хода на основе информа­ции о том, что произошло в партии до данного хода.

Посмотрим, чем руководствуются игроки при выборе стратегии в описанной выше игре.

Первый игрок может рассуждать следующим образом. Если я выберу белую карточку, то могу выиграть 2 копей­ки, но рискую проиграть копейку. Если же я выберу крас­ную карточку, то возможный выигрыш будет меньше и составит 1 копейку, а возможный проигрыш больше — 2 копейки. Поэтому лучше выбрать белую карточку, что­бы получить выигрыш побольше.

Рассуждения второго игрока могут быть такими. С точки зрения моего противника наилучший для него ход — выбор белой карточки, наверное, он так и сделает. Выберу я красную карточку и выиграю копейку. Если да­же он сделает другой выбор, я рискую потерять копейку, а выбрав белую, рискую потерять 2 копейки.

В результате в первой партии при комбинации (Б, К) первый игрок проигрывает, а второй выигрывает 1 копейку.

Во второй партии первый игрок, догадавшись о ходе рассуждений второго, выбирает красную карточку, а вто­рой сохраняет свою стратегию. В результате комбинации (К, К) первый игрок выигрывает копейку.

В третьей партии второй игрок догадывается, что его рассуждения разгаданы и, предполагая, что противник сохранит стратегию, принесшую тому успех во второй пар­тии, выбирает белую карточку. Если первый игрок дейст­вительно сохранит свой выбор, то в результате комбинации (К, Б) он проиграет 2 копейки.

Такие догадки или предположения игроков о поведе­нии противника могут продолжаться непрерывно. Устой­чивого выбора игроками своих стратегий достичь не удается, и игра идет, как говорят, с переменным успехом.

Рассмотрим поведение игроков в этой же игре, но с дру­гой платежной матрицей, имеющей следующий вид:

I	Б	К
Б	1	—1
К	1	2

После выбора игроками комбинации (К, Б), когда первый игрок выигрывает копейку, каждому игроку в отдельности невыгодно менять свою стратегию. Действи­тельно, сохраняя свой выбор, первый игрок либо получит такой же выигрыш, либо имеет шанс увеличить его до двух копеек. А если он изменит стратегию, то выиграть может ровно столько же, но зато рискует проиграть. Вто­рой игрок понимает, что первому нет смысла менять свою стратегию. Если он в этих условиях изменит свой выбор, то только увеличит свой проигрыш.

При данной платежной матрице выбор игроками своих стратегий является устойчивым. Правда, эта матрица не обеспечивает справедливой игры, она дает преимущество первому игроку.

Стратегии, при которых игрок стремится обеспечить себе гарантированный выигрыш или минимальный воз­можный проигрыш при наилучшем поведении противни­ка, называют минимаксными. Минимаксной стратегии соответствует выбор такой строки платежной матрицы, в которой максимальное значение проигрыша игрока ми­нимально относительно остальных строк.

Если в игре двух лиц существует пара устойчивых минимаксных стратегий, то говорят, что игра имеет седловую точку. Седловой точкой является элемент матрицы, нахо­дящийся на пересечении устойчивых минимаксных страте­гий. Значение функции выигрыша в седловой точке назы­вают ценой игры, а соответствующие стратегии — опти­мальными.

Решить игру - означает найти для нее оптимальные стратегии. К сожалению, значительно чаще встречаются иг­ры, в которых седловой точки нет и найти устойчивые ми­нимаксные стратегии нельзя. В некоторых случаях реше­нием таких игр являются не одиночные стратегии каждого из игроков, называемые чистыми стратегиями, а так на­зываемые смешанные стратегии.

Смешанные стратегии представляют собой набор не­скольких чистых стратегий, используемых в партиях поочередно, но не в строгом порядке, а с некоторой частотой для каждой стратегии, определяемой в соответствии с получен­ным для данной игры распределением вероятностей. В теории игр доказано, что среднее значение выигрыша игроков в этом случае будет наибольшим.

Значительный интерес представляют игры с ненулевой суммой, в которых выигрыш одного игрока не равен, про­игрышу другого. Игры с ненулевой суммой предполагают наличие игроков с необязательно противоположными ин­тересами. Практическая ценность таких игр значительно выше, чем игр с нулевой суммой, так как в них может быть выражен гораздо более широкий класс практических задач. Однако до настоящего времени сколько-нибудь глу­боких результатов, дающих возможность практического применения, в таких играх не получено.