Теория принятия решений

Долгое время принятие наилучших в смысле определенно­го критерия решений было больше искусством, чем наукой. Лишь в последнее время возникла наука принятия реше­ний и еще позднее — математическая теория принятия ре­шений. Принятие решений осуществляется практически во всех системах управления от простейших до самых сложных.

Например, человек, встречающий на своем пути пре­пятствие, должен принять решение, каким путем обойти его. При этом он выберет, как правило, направление обхо­да, соответствующее наиболее короткому пути. (Если, конечно, различные направления обхода препятствия во всем остальном равнозначны.) Другой пример. Госплан при распределении ограниченных ресурсов между потре­бителями — отраслями промышленности и республиками — должен принять решение о размерах ресурсов, выделен­ных соответствующим потребителям. Принимаемые реше­ния могут выступать в роли задающих воздействий для систем управления низших уровней иерархии, либо управляющим воздействием для рассматриваемой системы уп­равления.

Мы видим широкий диапазон областей, в которых необходимо принятие наилучших или хотя бы рациональных решений. Развитие теории принятия решений постоянно стимулируется появлением новых задач управления различными объектами и развитием соответствующего мате­матического аппарата, обеспечивающего их решение.

Принятие решений в различных системах может осу­ществляться автоматическими устройствами, отдельными яйцами или группой лиц, совместно человеком и техниче­скими средствами. Например, в системах автоматического регулирования электропривода при изменении нагрузки па валу наилучшим решением является решение о переходе па новый режим в кратчайшее время, и принимается оно автоматическим регулятором. В цехе завода мастер или начальник цеха может принимать решения, касающиеся ремонта вышедшего из строя оборудования в кратчайший срок или с наименьшими затратами без использования тех­нических средств управления или вычисления. И, нако­нец, решение о выборе варианта плана завода или отрасли может осуществляться путем многократного изменения исходных данных, критериев и многократного проведения расчетов с выбором наилучшего варианта плана человеком. Принятие решения состоит в выборе среди возможных действий таких, которые обеспечивают достижение окон­чательных целей лицами, осуществляющими управление. Окончательной целью в приведенных выше примерах яв­ляется переход на новый режим в кратчайший срок, ре­монт или замена оборудования в цехе с наименьшими за­тратами, получение наилучшего варианта плана. При при­нятии решений должен учитываться характер внешней среды, который оказывает влияние на выбор действий.

Пусть мы имеем множество возможных действий X и множество результатов действий У. В общем случае каж­дому действию x Х может соответствовать множество ис­ходов у (у У). В зависимости от характера внешней сре­ды могут быть выделены четыре группы условий, в кото­рых принимаются решения: условия определенности, риска, неопределенности, активной внешней среды. При­нятие решений в условиях определенности соответствует тому, что каждому действию х соответствует определенный исход у.

Принятие решении в условиях риска соответствует тому, что каждому действию х соответствует некоторое мно­жество исходов У(х). Каждый исход из У (х) имеет извест­ную вероятность появления р (у/х) .

Принятие решений в условиях неопределенности со­ответствует тому, что каждому х соответствует мно­жество исходов У (х), но вероятности появления каждого у У(х) неизвестны. И, наконец, принятие решения в ус­ловиях активной внешней среды состоит в том, что каждому х соответствует у , являющийся функцией от действий, принимаемых активной внешней средой. Активность среды проявляется в поведении, диктуемом наличием собствен­ной цели.

Приведем примеры каждой из групп условий.

1. Увеличение скорости обработки деталей в два раза приведет к увеличению производительности станка вдвое.

2. Будем считать, что станок при увеличении скорости обработки деталей вдвое может выходить из строя по двум причинам. При выходе из строя по первой причине возра­стание его производительности с учетом времени восста­новления составит 1,7, а при наличии второй причины — 1,3. В результате мы имеем, что действие ж, состоящее в увеличении скорости обработки деталей в 2 раза, может привести к одному из трех исходов: увеличению произво­дительности в 2 раза, 1,7 раза и в 1,3 раза. Если известны вероятности появления каждой из причин, то можно ха­рактеризовать риск.

3. То же, что и в случае 2, но вероятности появления причин неизвестны, скажем, из-за того, что вводимое усо­вершенствование станка еще не проходило испытаний. Для принятия решений по оценке каждого из возможных действий должны быть введены некоторые показатели. Бу­дем говорить, что для каждого действия определена вели­чина полезности, по которой можно судить о качестве дей­ствий.

Обозначим величину полезности действия х через и (х). Тогда задача принятия решения состоит в отыскании та­кого Х₀, которое обеспечивает

и(x₀) = u(x).

В этом соотношении учтены имеющиеся ограничения и критерии выбора решений. Действительно, все ограничения учтены при определении вида множества X, а кри­терий — в виде функции и(х).

Рассмотрим вопросы принятия решений в условиях определенности. Напомним, что каждому действию в этом случае соответствует определенный исход у. Исход у мо­жет характеризоваться как некоторой скалярной функцией (y), так и набором скалярных функций ₁(у), ₂ (y),.., _i(y),…, _n(y). В первом случае в качестве функции по­лезности действия х может быть выбрана, например, (y), т. е. и(х) = (у). Если исход у характеризуется на­бором функций , то необходимо найти соответствующую атому набору функцию полезности действия х.

Мы фактически столкнулись с задачей принятия реше­ния при наличии одного или многих критериев. При выбо­ре действия х с исходом у , которому соответствует ска­лярная функции (y), как нетрудно заметить, мы имеем задачу математического программирования. .Большое ко­личество практических задач соответствует случаю, когда исход характеризуется набором функций . Для принятия решения часто пытаются найти функцию полезности u(x), выражая ее через набор функций .

Например, полагают , т. е. функция

полезности является линейной комбинацией (у). Су­ществует много различных способов выражения и(х) че­рез (у). Однако весьма часто либо вид функции u(x;), либо постоянные, входящие в нее, не соответствуют требуе­мой. В результате оказывается, что решения, принимае­мые в соответствии с полученной функцией полезности, оказываются не наилучшими. В ряде случаев вместо наи­лучшего действия х отыскивают множество действий, наи­лучших по сравнению со всеми остальными в некотором смысле.

Например, в литературе известно определение дей­ствий, наилучших в смысле Парето. В множество действий, наилучших по Парето, входят такие пары действий, для которых справедливо следующее утверждение. Если для наилучших по Парето действий х_k и x_i в наборе функций найдется пара с отношением _k (y_k) > _i(y_i), то обязательно должна существовать пара _k (y_k) < _i (y_i).

Как видим, множество действий, наилучших по Парето, включает фактически несравнимые действия, т. е. действия, о которых нельзя уверенно оказать, какое из них лучше. Это обусловлено тем, что неясно, какая из функций набора важнее с точки зрения оценки действия в целом. Очевидно, что, если множество по Парето содержит лишь одно действие, то оно является наилучшим и в смысле лю­бых разумных функций полезности.

В тех случаях, когда не удается найти либо вид функ­ции полезности, либо ее постоянные, прибегают к помощи экспертов, которые дают оценки, позволяющие построить функцию полезности или уточнить ее параметры.

Реализация процесса принятия решения может осу­ществляться по этапам. Например, ЭВМ проводит вариант­ные расчеты, которые поступают к лицу, принимающему решение. Оно уточняет либо функции (у), либо и(х), после чего проводят новые вариантные расчеты и так до тех пор, пока по будет получено решение, удовлетвори­тельное с точки зрения данного лица. В этом случае наряду с формализованными этапами происходит диалог с лицом, принимающим решение.

Очевидно, что конкретных вариантов реализации про­цедур принятия решений отмеченным способом может быть достаточно много. Для примера рассмотрим один из них.

Пусть множества ₁ (у), ₂(y),.., _n(y)упорядочены по важности. Сначала отыскивается наилучшее действие с точки зрения ₁(y).На основании экспертных заключе­ний определяется величина , на которую может быть уменьшена ₁ (у) для улучшения выбираемого действия с точки зрения ₂(у). Далее определяется и отыски­вается наилучшее действие с точки зрения ₃(y) и т. д.

Рассмотрим вопросы принятия решений в условиях риска и неопределённости. Задача принятия решения в та­ких условиях может быть интерпретирована как задача отыскания решения в игре двух лиц, одним из которых яв­ляется природа. Особенностью игрока-природы является то, что она не стремится извлечь выгоду из-за ошибочных действий второго игрока. Она ведет себя безразлично к его действиям. Игры, в которых одним из игроков является природа, называются статистическими в отличие от анта­гонистических и других игр. В этих играх игрок с природой может иметь о ней следующую информацию:

1) набор состояний природы ;

2) множество возможных действий или стратегий X;

3) распределение вероятностей состояния природы р( );

4) множество исходов Y;

5) функции оценки исходов (y), которые могут слу­жить функциями полезности действий х, приводящих к исходу у.

Так как исход у однозначно определяется парой , то можно вычислить распределение вероятностен р(у/х) и, следовательно, среднее значение функции полезности в виде

,

где Y(x) — множество исходов, к которым может привести действие х.

Таким образом, задача принятия решения в условиях неопределенности может быть сведена к задаче математи­ческого программирования, в которой максимизируется среднее значение функции полезности u(x).

Игрок с природой может наряду с отдельными дей­ствиями х, являющимися чистыми стратегиями, использо­вать смешанные стратегии, которые задаются распределе­нием вероятностей р (х) различных действий из X. Задача игрока с природой состоит в выборе такой смешанной стра­тегии, при которой среднее значение функции полезности достигает максимальной величины. Среднее значение функции полезности в этом случае определяется усредне­нием не только по , но и по х, входящим в сме­шанную стратегию:

.

В формулах функций полезности вероятности исходов могут определяться на основе либо априорной информации о состоянии природы, либо апостериорной информации. В связи с этим статистические игры могут быть играми без эксперимента или играми с экспериментом.

Проведение дополнительного эксперимента может уточ­нить знания игрока о природе и повысить функцию полез­ности его действий. В рассмотренной статистической игре риск состоит в том, что, ориентируясь на среднее значение функции полезности, мы можем его достигнуть в игре лишь с некоторой вероятностью, отличной от единицы.

Принятие решения в условиях неопределенности осу­ществляется также на основании оценки значений функ­ции полезности. Выбор способа оценки может быть различ­ным, но учитывающим отсутствие информации о распре­делении вероятностей состояний природы. Одним из воз­можных способов оценки величины функции полезности может быть

и(х)= ,

т. е. выбирается нижняя граница функции на мно­жестве исходов и, следовательно, состояний природы.

Этот путь соответствует обеспечению гарантированно­го результата для игрока с природой. Если же игрок будет иметь возможность провести эксперимент, в результате которого им будут получены оценки распределений вероят­ностей состояния природы, то принятие решений будет осуществляться в условиях риска.

Следует отметить, что теория статистических игр яв­ляется достаточно сильным инструментом при принятии решения в условиях риска.

Принятие решений в условиях активной внешней сре­ды осуществляется с позиций теории стратегических игр.