Билет №21 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.

Если - некоторое решение системы

,

а F - фундаментальная матрица её приведенной системы, то столбец

при любом c является решением системы (1). Наоборот, для каждого её решения найдется такой столбец , что оно будет представлено формулой (10).

Выражение, стоящее в правой части формулы (10), называется общим решением системы линейных уравнений. Если - фундаментальная система решений, а c₁,...,c_{n − r} - произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так:

.

Теорема 3 верна, в частности, и для однородных систем. Если - тривиальное решение, то (10) совпадает с (7).

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Иначе утверждение теоремы можно сформулировать так: приписывание к матрице A размеров стобца высоты m не меняет её ранга тогда и только тогда, когда этот столбец - линейная комбинация столбцов A.

Доказательство. Докажем это. Если RgA ^* = RgA, то базисный минор A является базисным и для A ^* . Следовательно, раскладывается по базисным столбцам A. Мы можем считать его линейной комбинацией всех столбцов A, добавив недостающие столбцы с нулевыми коэффициентами.

Обратно, если раскладывается по столбцам A, то элементарными преобразованиями стобцов можно превратить A ^* в матрицу A₀, получаемую из A приписыванием нулевого столбца.

Элементарно RgA₀ = RgA ^* . C другой стороны, RgA₀ = RgA, так как добавление нулевого столбца не может создать новых невырожденных подматриц. Отсюда RgA = RgA ^* , как и требовалось.

Билет №22 Линейное отображение конечномерных линейных пространств, его матрица.

Определение. Пусть и - два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением A пространства в пространство понимается закон, по которому каждому вектору из L сопоставлен единственный вектор из . Мы будем писать . Образ вектора x обозначается A(x)

Определение. Отображение называется линейным, если для любых векторов x и y из L и любого числа α выполнены равенства

.

Определение. Матрицей линейного отображения в паре базисов e и f называется матрица, столбцы которой (в их естественнм порядке) - координатные столбцы векторов A(e₁),...,A(e_n) в базисе f.

Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.

Линейное преобразование - это отображение, которое отображает линейное пространство в то же самое протстранство.

Определение. Если для числа λ подпространство Ker(A − λE) ненулевое, то λ называется собственным значением преобразования, а подпространство - собственным подпространством, соответствующим собственному значению λ.

Определение. Вектор x называется собственным вектором преобразования A, соответствующим собственному значению λ, если: ; 2)A(x) = λx.

Предположение 5. Собственные вектора и только они являются базисными векторами одномерных подпространств, инвариантных относительно A.

Доказательство. Пусть вектор x собственный, а y принадлежит одномерному подпространству L' с базисом x. Тогда y = αx и A(y) = αA(x) = αλx. Значит, A(y) лежит в L'.

Пусть x - базис инвариантного подпространства L'. Тогда A(x) лежит в L' и раскладывается по базису: A(x) = λx. Так как , он собственный.

Предположение 6. В i-м столбце матрицы линейного преобразования все элементы вне главной диагонали равны нулю тогда и только тогда, когда i-й базисный вектор собственный. В этом случае диагональный элемент столбца - собственное значение.