Билет №24 Приведение квадратичных форм в линейном пространстве к каноническому виду.

Определение. Квадратичной фориой или квадратичной функцией на линейном пространстве L называется функция k, значение которой на любом векторе x определяется равенством k(x) = b(x,x), где b - симметричная билинейная функция.

Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей билинейной функции.

Согласно (3) мы имеем следующее выражение значения квадратичной формы через координатный столбец вектора:

Теорема 1. Для каждой квадратичной формы k существует базис, в котром она имеет диагональный вид.

Доказательство. Пусть B - матрица квадратичной формы k в каком-либо базисе. Применим к матрице B последовательность элементарных преобразований, которую для удобства описания разобьем на ряд шагов. На первом шаге возможны два случая.

1) Основной случай: β₁₁. Если это так, вычистаем первую строку, умноженную на подходящие множители (β_1i / β₁₁ для i-й строки), из всех лежащих ниже строк и вычитаем первый столбец, умноженный на те же множители, из всех столбцов правее него. В результате матрица B перейдет в матрицу B₁ вида

,

где C₁ - симметричная матрица порядка n − 1,

2) Особый случай: β_1i = 0. Здесь имеются две возможности.

a) β_1i = 0 для всех . При этом матрица уже имеет нужный вид.

б) Найдется i, для которого . При этом делается вспомогательное преобразование: если , то i-я строка переставляется с первой, и i-й столбец переставляется с первым; если же β_ii = 0, то i-я строка прибавляется к первой и i-й столбец прибавляется к первому. В преобразованной матрице оказывается . После вспомогательного преобразования матрица приводится к виду (10) так же, как и в основном случае.

Пусть в результате k шагов мы получили матрицу

Здесь C_k - симметричная матрица порядка n − k.

Следующий, (k + 1) - й шаг состоит в такой элементарной последовательности преобразований последних n − k столбцов матрицы B_k, которая равносильна применению первого шага к матрице C_k. В результате мы получаем матрицу B_{k + 1}, имеющую тот же вид с большим на 1 значением k. После (n − 1) - го шага матрица C_{n − 1} имеет порядка 1 и не нуждается в преобразовании. В результате матрица B будет превращена в диагональную матрицу

Билет №25 Положительно определенные квадратичные формы.

Определение. Квадратичную форму k будем называть положительно определенной на подпространстве L' пространства L, если k(x) > 0 для любого ненулевого вектора x из L'.

Если говорят, что квадратичная форма положительно определена без уточнения подпространтсва, то она обладает таким свойством на всем L.

Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры её матрицы удовлетворяли неравенствам

.

Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы.

Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы, примененные при доказательстве теоремы 1.

1. Необходимость. Если квадратичная форма k положительно определена, то диагональные элементы её матрицы в любом базисе удовлетворяет условию

β_ii = k(e_i) > 0,

и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретиться. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу - только расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменяться. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы.

2. Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы B положительны. В частности, M₁ = β₁₁ > 0, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с . Допустим, что после k шагов мы получили матрицу B_k с положительными , причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы C_k имеем

, так как главные миноры не менялись. Поэтому , на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положительные элементы . Рассуждая так для всех k, мы придем к доказательству утверждения.