Фундаментальная система решений.

Определение. Матрица Φ(x) у которой столбцы образуют фундометальную систему решений (1) называется фундоментальной матрицей системы (1).

Таким образом,

Очевидно, что Φ(x) - непрерывно дифференцируемая матрица на [α,β]. Из теоремы 2 следует, что для (1) существует бесконечно много фундометальных матриц. Из определния фундоментальной системы решений получаем, что Φ(x) - невырожденная матрица на [α,β]. Из теоремы 3 получаем самое важное свойство Φ(x). Именно, если Φ(x) - фундоментальная матрица (1), то общее решение системы (1) записывается в простом виде

,

где c-произвольный числовой n-мерный вектор.

Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.

Пусть - система вектор-функций с n компонентами на [α,β].

Определение. Определителем Вронского системы называется определитель

.

Теорема 4. Пусть W(x) - вронскиан решений системы (1) и пусть . Тогда для имеет место формула Лиувилля-Остроградского

,

где называется следом матрицы A(ζ). Доказательство. Покажем, что W(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Пусть компоненты решения . Тогда W(x) является функцией всех этих компонент:

По формуле производной сложной функции получаем, что

.

Если W_pr(x) - алгебраическое дополнение y_pr(x) в W(x), то разложение W(x) по p-й строке дает

.

Отсюда находим, что

.

Каждая вектор-функция y_q(x) удовлетворяет системе (1), т.е.

.

Отсюда находим, что

,

где a_pr(x) - элементы матрицы A(x). Подставляя найденные выражения и y'_pq(x) в формулу W'(x), получаем, что

.

Но из курса алгебры известно, что

,

где δ_rp - символ Кронекера. Тогда

.

Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка и дает требуемую формулу (6).

Билет №29 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

Обозначим через множество всех непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [a,b]. Для введем расстояние между ними по формуле

Множество функций C¹[a,b] с введенной метрикой является линейным нормированным пространством.

Пусть F(x,y,p) - заданная непрерывно дифференцируемая функция для и . Рассмотрим интеграл

на множестве M тех функций , которые удовлетворяют граничным условиям

,

где A и B заданные числа. Функции будем называть допустимыми.

Определение. Говорят, что функция дает слабый локальный минимум функционала (1), если .

Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума функционала (1) называется простейшей вариационной задачей.

Теорема. Пусть функция F(x,y,p) - дважды непрерывно дифференцируема при и . Если дважды непрерывно дифференцируемая функция является решением простейшей вариационной задачи, то необходимо, чтобы функция на [a,b] удовлетворяла уравнению Эйлера

Доказательство. Условие экстремальности

если второй интеграл взять по частям то приходим к следующему эквивалентному уравнению

ну и получаем утверждение теоремы.

БИЛЕТ №30

Полная система событий.

Пусть имеется n (любое число) событий , таких, что в каждой единичной операции обязательно должно наступить одно и только одно из этих событий; условимся такую группу событий называть полной системой.

Формула полной вероятности.

Пусть A - произвольное событие, события попарно несовместимы, , и . Тогда имеет место следующая формула (формула полной вероятности):

.

Для доказательства этой формулы заметим, что A можно представить в виде следующей суммы попарно несовместимых событий:

.

Отсюда, воспользовавшись аксиомой А4 и формулой

Если A и B несовместны, то

.

получим формулу

Формула Байеса.

Заменив в равенстве

вероятность P(A) по формуле полной вероятности, получим формула Байеса

.

БИЛЕТ № 31

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.

Математическим ожиданием случайной величины ξ, заданной на вероятностном пространстве , называется число

если итеграл Лебега в правой части равенства существует.

Математическим ожиданием Mξ случайной величины ξ = ξ(ω_k), заданной на дискретном вероятностном пространстве с , называется число

,

если ряд абсолютно сходится.

Если же ряд не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины ξ не существует.

Математическое ожидание Mξ случайной величины ξ = ξ(u₁,u₂,...,u_n), заданной на абсолютно непррывном вероятноствном пространстве , называется число

,

если интеграл абсолютно сходится.

Если интеграл не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины ξ не существует.

Свойства математического ожидания.

1. Если C - постоянная, то MC = C.

2. Если C - постоянная, то M(Cξ) = CMξ.

3. Для любых величин ξ

.

4. Для любых случайных величин ξ₁ и ξ₂

M(ξ₁ + ξ₂) = Mξ₁ + Mξ₂.

Если существует какие-нибудь два из входящих в равенство математических ожиданий, то существует третье математическое ожидание.

5. Если случайные величины ξ₁ и ξ₂ независимы, то Mξ₁ξ₂ = Mξ₁Mξ₂. Из существования любых двух математических ожиданий следует существование третьего математического ожидания.

Дисперсией Dξ случайной величины ξ называется число

Dξ = (M | ξ − Mξ | ²),

если математическое ожидание в правой части существует.

Величина называется средним квадратическим отклонением

Свойства дисперсии:

1. Для любой случайной величины ξ имеем .

2. Если c - постоянная, то D(c) = 0.

3. Если c постоянная, то D(cξ) = c²Dξ.

4. Если случайные велины ξ₁ и ξ₂ независимы, то

D(ξ₁ + ξ₂) = Dξ₁ + Dξ₂.