Билет №26 Когда правая часть является квазимногочленом.

Рассмотрим уравнение

где μ - заданное комплексное число, P_m(x) - заданный многочлен степени m.

Определение. Если число μ является корнем характеристического уравнения L(λ) = 0, то говорят, что в уравнении (1) имеет место резонансный случай.

Теорема. Для уравнения (1) существует и единственно решение вида

где Q_m(x) - многочлен одинаковой с P_m(x) степени m, а число k равно кратности корня μ характеристического уравнения L(λ) = 0 в резонансном случае и k = 0 в нерезонансном.

Доказательство. Если , то заменой в уравнении (1) всегда можно избавиться от e^μx в правой части.

L(D)e^μxz = e^μxL(D + μ)z = e^μxP_m(x)

Отсюда L(D + μ)z = P_m(x).

Таким образом доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида

a) Нерезонансный случай: . Пусть

P_m(x) = p₀x^m + ... + p_m ,

Q_m(x) = q₀x^m + ... + q_m .

Подставляя P_m,Q_m в уравнениие (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем линейную алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов q₀,...,q_m

Матрица этой системы треугольная с числами по диагонали,поэтому коэффициенты Q_m(x) определяются однозначно.

б) Резонансный случай:

L(λ) = λ^k(λ^{n − k} + a₁λ^{n − k − 1} + ... + a_{n − k})

Следовательно

В случае k < n замена D^ky = z в уравнении (1) приводит к уравнению

Поскольку , то для этого уравнения имеет место нерезонансный случай. Следовательно существует, единственное решение этого уравнения z = R_m(x).

Рассмотрим уравнение

Взяв нулевые начальные условия для этого уравнения

y(0) = y'(0) = ... = y^{(k − 1)}(0) = 0

получаем единственное решение вида

.

Билет №27 Когда существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.

Рассмотрим нормальную линейную однородную систему

где , A - квадратная комплексная матрица порядка n, x(t) - неизвестная вектор-функция с n компонентами.

Лемма 1(Принцип суперпозиции). Если x⁽¹⁾(t),x⁽²⁾(t) решения системы (1), а C₁,C₂ - произвольные комплексные числа, то вектор-функция x(t) = C₁x⁽¹⁾(t) + C₂x⁽²⁾(t) также решение системы (1).

Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция x(t) = e^λth была нетривиальным решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы λ было собcтвенным значением, а h - соответствующим ему собственным вектором преобразования A.

Теорема.

Пусть существует базис из собственных векторов h₁,...,h_n линейного преобразования A и пусть λ₁,...,λ_n - соответствующие им собственные значения.

Тогда:

а) Вектор-функция x(t) вида

где C₁,...,C_m произвольные комплексные постоянные, является решением системы (1).

б)Если x(t) - какое-либо решение системы (1), то найдутся такие значения постоянных C₁,...,C₂, при которых x(t) задается формулой (2).

Доказательство.

а)Утверждение теоремы непосредственно следует из лемм 1 и 2.

б)Пусть x(t) - какое-либо решение (1). Так как h₁,....,h_n - базис в , то для

x(t) = ζ₁(t)h₁ + ... + ζ_n(t)h_n.

Подставим x(t) в систему (1). Имеем

.

Так как h₁,...,h_n - линейно независимые вектора, то отсюда

Из этих уравнений находим, что .