- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М.
Функция называется дифференцируемой функцией в точке М если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
A,B – const, независящие от ; – б.м. при
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ дифференцируемости: Если дифференцируема в точке М , то она имеет в этой точке частные производные, при этом =A ;
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Т.к. дифференцируема в точке М , то . Пусть , т.е. функция меняется только относительно переменной х, тогда её приращение будет иметь вид:
|
. Аналогично
ТЕОРЕМА О СВЯЗИ ДИФ-СТИ ФНП и СУЩЕСТВОВАНИЯ ЧАСТН ПРОИЗВОДНОЙ. Если функция имеет частные производные в и эти производные непрерывно, то функция дифференцируема в точке М.
СЛЕДСТВИЕ. Из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции в этой точке.
18. Полный дифференциал функции двух переменных.
Если Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), то её приращение может быть представлено в виде .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: (dz) дифференциалом дифференцируемой функции Z в точке М называется линейная относительно в x и у часть полного приращения функции в точке М, т.е. dZ=Ax+By.
В правой части y третье и четвертое слагаемые являются бесконечно малыми функциями, по этому можно записать приближённое равенство , что используется при приближённом вычислении.
Дифференциал второго порядка:
19. Производные сложной функции.
Пусть функция такая, такая что и . Тогда называется сложной функцией. Где t – независимая переменная. y и x промежуточные переменные.
ТЕОРЕМА: Если функции и дифференцируемы в точке t , а функция дифференцируема в точке то сложная функция дифференцируема в точке t и справедлива формула:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Придадим переменной t произвольное приращение , тогда x и y получат приращения , тогда . Т.к. функция z дифференцируема в точке то можно записать в виде:
Перейдем к lim этого равенства при :
lim =
lim и lim , т.к. по условию теоремы, функции x и y дифференцируемы в точке М следовательно они непрерывны в этой точке, а значит(согласно 2ому определению непрерывности функции в точке) при , и следовательно
20. Определение производной по направлению.
Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки и рассмотрим произвольный единичный вектор , где , а , т.е. -направляющие векторы. .
Для характеристики скорости изменения функции в точке М(x;y) в направлении введем понятие производной по направлению. Для этого проведем через т. М прямую L так чтобы одно из направлений на ней совпадало с направлением и возьмем на этой прямой точку
Обозначим длину через
Тогда функция z получает приращение
Будем предполагать, что в окрестности т.М ф z непрерывна и имеет непрерывные частные производные(т.е. дифференцируемы). Тогда полное приращение ф.:
Перейдем к
Если существует предел отношения т.е. , то он называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается:
; ; ; (x;y)
Или с помощью градиента: где, угол между