4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
Точка является точкой локального max/min функции , если для любого x из -окрестности точки выполняется: 1) для max
2) для min
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из ООФ. Поэтому функция имеет экстремум только во внутренних точках ООФ.
ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СТРОГОГО ЛОК. ЭКСТРЕМУМА. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки , и при переходе через эту точку слева на право меняет знак с + на - , то точка - т. max. Если с – на + , то т. min. Если же по всей -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть меняет знак с + на - .
Рассмотрим
произвольную точку
) и на
выполняются все условия теоремы
Лагранжа, т.е.
,
Рассмотрим
произвольную точку
) и на
выполняются все условия теоремы
Лагранжа, т.е.
,
Таким
образом
)
.
Значит по определению
точка локального максимума. Аналогично
для точки локального минимума.
5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
Точка является точкой локального max/min функции , если для любого x из -окрестности точки выполняется: 1) для max
2) для min
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из ООФ. Поэтому функция имеет экстремум только во внутренних точках ООФ.
ВТОРОЕ
ДОСТАТОЧНОЕ
УСЛОВИЕ СТРОГОГО ЛОК. ЭКСТРЕМУМА. Если
в точке
,
а
существует и не равен 0, то если
-
локальный мах. Если
то
локальный мин.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим
.
1)Если
,
то
2)
Если
,
то
Т.е. в точке меняет знак с + на – следовательно, в точке имеет максимум.
6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
График
функции
имеет на
выпуклость
вверх/вниз если он расположен ниже/выше
любой касательной к графику функции
на
.
ДОСТАТОЧНОЕ
УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТИ(КРИТЕРИЙ ВЫПУКЛОСТИ).
Если функция
имеет на
во всех точках
,
то график функции
на (a;b)
выпукл вниз, и наоборот.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим
на (a;b).
Следовательно, выпукла вниз на (a;b)
в точке
,
т.е.
.
Составим уравнение касательной (по
)
;
.
Найдем разность между функцией и
касательной:
.
,
где
,
где
Исследуем
это выражение:
1)
2)
Мы доказали, что во всех точках интервала (a;b) ордината графика функции больше ординаты касательной. Таким образом, по определению график функции является выпуклым вниз. Аналогично доказывается выпуклось вверх.