- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
42. Однородные дифференциальные уравнения.
Функция f(x;y) называется ОДНОРОДНОЙ n-ГО ПОРЯДКА если при умножении каждого её аргумента на произвольный множитель , вся функция умножается на .
Дифференциальное уравнение называется ОДНОРОДНЫМ если функция f(x;y) есть однородная функция нулевого порядка, т.е. = f(x;y)
Дифференциальное уравнение к виду т.к. функция однородная функция нулевого порядка, то положим что тогда
Уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены
Подставим в :
+C
-после интегрирования следует вернуться к замене, тогда получим общий интеграл исходного уравнения.
Однородные уравнения часто задаются в диф-ой форме Это уравнение будет однородным если и - однородные функции одинакового порядка. Тогда это уравнение можно привести к виду
Потом интегрируем уравнение как указано выше. Заметим, что при интегрировании уравнения диф-ой формы нет необходимости приводить его к виду . Замена переменой сразу преобразует его в уравнение с разделяющимися переменными.
43. Линейные уравнения I-порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным если его можно записать в виде , где некие заданные функции, в частности могут быть постоянными.
Особенность этого дифференциального уравнения: искомая функция y и её производная входят в уравнение первой степени не перемножаясь.
Способы интегрирования.
1) Метод Бернули. Решение уравнения ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью замены , , следовательно
(**)
Т.к. искомая функция ищется в виде произведения двух множителей, то один из этих множителей мы можем выбрать произвольно, а второй подобрать так, чтобы их произведение являлось искомой функцией. Поэтому выберем множитель v таким, чтобы - уравнение с разделенными переменными.
, выберем произвольным образом C=1
(из**)
приведем его к уравнению с разделяющимися переменными|:
= g(x) |*dx
далее интегрируем
( – ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЯ
2) Метод Лагранжа(метод вариации произвольной постоянной)
Этот метод состоит в том, чтобы сначала интегрировать уравнение из правой часть, т.е. уравнение вида . Оно называется линейное однородное дифференцированное уравнение первого порядка. В этом уравнении можно разделить переменные.
|dx
|:y
= - решение соответствующего однородного уравнения.
Для того чтобы найти решение исходного уравнения будем полагать, что С- некая функция от х, которую необходимо найти, т.е. решение исходного уравнения ищем в виде:
, где С(х) – неизвестная функция
Подставим в :
уравнение с разделяющимися переменными
И т.к.
Следовательно
ЗАМЕЧАНИЕ. уравнение вида , где заданные функции неравные 0 можно свести к линейному, если х считать функцией, а у – переменной, т.е. х=х(у) тогда, используя теорему о производной обратной функции
такое уравнение решаем методом Бернули
т.е. получили линейное уравнение 1ой степени относительно y