- •1. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие возрастания функции. Достаточное условие строгого возрастания функции.
- •2. Определение монотонной функции. Необходимое и достаточное условие убывания функции. Достаточное условие строгого убывания функции.
- •3. Определение локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •4. Определение локального экстремума функции одной переменной. Первое достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •5. Определение локального экстремума функции одной переменной. Второе достаточное условие строгого локального экстремума функции одной переменной.
- •6. Определение выпуклости и вогнутости функции одной переменной (выпуклость вверх, выпуклость вниз). Достаточное условие выпуклости функции одной переменной.
- •7. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Необходимое условие перегиба.
- •8. Определение точки перегиба графика функции одной переменной. Достаточное условие перегиба.
- •9. Определение вертикальной и наклонной асимптоты. Нахождение наклонной асимптоты.
- •10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.
- •11. Формула Тейлора и формула Маклорена.
- •12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .
- •13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.
- •14. Непрерывность фнп. Основные свойства непрерывных функций.
- •15. Частные производные (определение, способы вычисления).
- •16. Частные производные старших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •17. Определение дифференцируемости фнп. Необходимое условие дифференцируемости. Теорема о связи дифференцируемости фнп и существования частных производных.
- •18. Полный дифференциал функции двух переменных.
- •19. Производные сложной функции.
- •20. Определение производной по направлению.
- •21. Определение градиента функции, линии уровня, свойства градиента.
- •22. Определение локального экстремума фнп. Необходимое условие экстремума фнп.
- •23. Определение локального экстремума фнп. Достаточное условие экстремума фнп.
- •24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)
- •25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.
- •26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.
- •27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).
- •28. Таблица интегралов.
- •29. Свойства неопределенного интеграла.
- •30. Метод замены переменной (метод подстановки) в неопределенном интеграле.
- •31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
- •32. Определенный интеграл (определение, геометрический смысл).
- •33. Свойства определенного интеграла.
- •34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
- •35. Формула Ньютона-Лейбница.
- •36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
- •37. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •38. Определение несобственного интеграла первого рода (по бесконечному промежутку).
- •39. Определение несобственного интеграла второго рода (от функций, имеющих разрыв).
- •40. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решение. Начальные условия. Задачи Коши.
- •41. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и метод их решения.
- •42. Однородные дифференциальные уравнения.
- •43. Линейные уравнения I-порядка.
33. Свойства определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x) интегрируема на (a;b)
1)
, т.е. константу можно выносить за знак определенного интеграла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Воспользуемся определением определенного интеграла.
3) Определенный интеграл от алгебраической суммы 2ух функций равен алгебраической сумме интегралов:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для простоты доказательства докажем для суммы.
4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: По формуле Ньютона-Лейбница
5) Свойство аддитивности интеграла.
Для любого cϵ[a;b] верно:
Пусть с- одна из точек разделения отрезка от а до b. По определению определенного интеграла:
6) Теорема о среднем.
Если функция y=f(x) непрерывна на (а;b), то на этом отрезке существует точка с , такая что :
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
7) Если функция f(x) сохраняет знак на (a;b), где a , то имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о среднем. ( f( c ) (b-a) )
8) Неравенство между непрерывными функциями на (a;b), где a , можно интегрировать. Так, если на (a;b), то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. т.к. , то
Найдем интеграл:
ЗАМЕЧАНИЕ. Дифференцировать неравенства нельзя.
9)Оценка интеграла.
Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на (a;b), где a , т.е. m , то m
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предыдущему свойству проинтегрируем неравенства:
Для интегралов, стоящих слева и справа применим теорему о среднем:
m
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ данное свойство означает, что если , то площадь криволинейной трапеции функции заключена между площадями прямоугольников, основания которых есть отрезок от а до b, а высоты равны m и M соответственно.
10) Теорема Барроу.
34. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу.
Рассмотрим интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, т.е. , где . Величина этого интеграла является функцией от верхнего предела x. Обозначим интеграл как Ф(х) и назовем такую функцию как интеграл с переменным верхним пределом.
ТЕОРЕМА БАРРОУ.
Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
( )
Т.Е. теорема Барроу означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
35. Формула Ньютона-Лейбница.
ТЕОРЕМА. Если функция непрерывна на (a;b) и F(x) – какая-либо первообразная на (а;b), то имеет место формула:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим
=
Перейдем к пределу в этом равенстве:
36. Метод замены переменной (метод подстановки) в определенном интеграле.
Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.
Пусть для вычисления интеграла сделана подстановка
ТЕОРЕМА. Если выполнены следующие условия: 1) , - непрерывны при любой
2) множество значений функции при являются отрезком [a;b].
3) ;
тогда
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – первообразная для следовательно
Т.к. , то . Найдем производную функции
Следовательно функция И значит если мы будем находить , чтд.
ЗАМЕЧАНИЕ. 1)При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.
2) Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.