10. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной на замкнутом промежутке.

Пусть непрерывна на [a:b]. Как известно, такая ф-ция на промежутке достигает своего наиб и наим значения. Эти значения ф-ция может принять либо во внутренней точке принадл. [a;b]; либо на границе промежутка. Если принадл. (a;b), то следует искать среди критических точек данной ф-ции.

ЗАМЕЧАНИЕ1: если y=f(x) на отрезке от a до b имеет единственную критич. точку и она явл. (.) макс/мин, то в этой (.) ф-ция принимает наиб(наим) значение.

ЗАМЕЧАНИЕ2: если ф-ция y=f(x) не имеет критич. точек => на этом отрезке ф-ция монотонно возр/убыв => наиб. значение принимает на одном конце, наим. на другом. {max и min внутри, наиб/наим на концах)

11. Формула Тейлора и формула Маклорена.

Формула Тейлора для многочлена (позволяет разложить многочлен по степеням)

;

Формула Тейлора для произвольной функции:

Рассмотрим функцию y=f(x), формула Тейлора позволяет при определенных условиях приближенно представить f(x) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

ТЕОРЕМА: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную n-го порядка до (n+1) включительно. Тогда для любого х из этой окрестности найдется точка такая что справедлива формула:

это

это остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа (

– погрешность приближенного равенства , таким образом ф Тейлора дает возможность заменить функцию многочленом в соответствующей степени точности, равной значению остаточного многочлена

ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА это ф тейлора при т.е.

12. Разложение по формуле Маклорена функции , , .

13. Функции нескольких переменных (фнп). Основные определения. Предел фнп.

Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную то говорят, что на множестве D задана При этом x и y независимые переменные(аргументы) функции, а z- зависимая переменная.

Т.к. каждой упорядоченной паре чисел (x;y) при фиксированной системе координат соответствует единственная точка M плоскости и обратно: каждой точке М плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел (x;y) , то функцию 2х переменных можно рассматривать как функцию точки М и вместо записать . В этом случае ООФ будет являться точек М плоскости.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ функции могут быть различными (чаще всего аналитический, т.е. формулой) Тогда ООФ будет являться множество точек плоскости, для которых эта формула верна. В частности, ООФ может быть вся плоскость или её часть, ограниченная линиями.

ГРАНИЦА ООФ – линия, ограничивающая область.

ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ – те, которые лежат на границе.

ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ – те, которые не лежат на границе, но входят в ООФ.

ОТКРЫТАЯ ООФ – если ООФ состоит только из внутренних точек.

ЗАМКНУТАЯ ООФ – с присоединенной границей.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Введём понятие дельта окрестности точки ( ; ). .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением быть может самой точки М0. число А называется пределом функции z=f(x;y) при хх0, уу0. M(x;y)M0(x0,y0).

Если для любого E>0 существует >0, такое что для и удовлетворяет

ТЕОРЕМА: Пусть функция f(M) и g(M) определены на одном и том же множестве D и имеют следующий предел , а , тогда функции , , так же имеют пределы, которые соответственно равны

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Аналогично соответствующей теореме для ф 1ой переменной.

Функция z=f(M) называется бесконечно малой при MM0. Если , то тогда функция может быть представлена в виде: Z(M)=A+(M)