46.Рассмотрите пример решения задачи линейного программирования симплекс-методом
Пример решения задачи линейного программирования. Рассмотрим задачу линейного программирования в следующем виде: найти максимум линейной формы 4х1 + 3х2 при ограничениях
х1 ≤4000, х2 ≤ 6000, х1 +2/3х2 ≤6000, х1,х2 ≥ 0.
Каноническая форма задачи линейного программирования будет иметь вид
4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 → max;
1х1 + 0х2 + 1х3 + 0x4 +0x5 = 4000;
0x1 +1х2 +0 х3 +1 x4+0 x5 = 6000;
Составим исходную симплекс-таблицу (табл. 10.2).
Таблица 10.2
Поскольку
-4 < -3 < 0, то в качестве направляющего
выбираем первый столбец. Составив
отношение вида
,
определяем направляющую строку, Для
этого находим минимальное отношение
Следовательно, направляющая строка - первая, направляющий элемент — а11=1. Применив первый шаг симплексного преобразования, получим новую таблицу (табл. 10.3).
Таблица 10.3
На
данном этапе в качестве направляющего
столбца выбираем второй, направляющая
строка - третья, т.к.
Применим следующий шаг симплексного преобразования. В результате получим табл. 10.4
Так как
то направляющий столбец А3,
направляющая строка - вторая,
направляющий элемент а23= 3/2 •
Выполним очередной шаг преобразования,
получим еще одну таблицу (табл. 10.5).
Таблица 10.5
Поскольку в индексной строке все элементы положительны, это означает, что найдено оптимальное решение х10= 2000, х20 = 6000, х30 = 2000. Искомое значение целевой функции равно 4 х1 + Зх2= 26000.
47.Опишите процесс решения задач линейного программирования с использованием программного обеспечения matlab
В состав MATLAB входит Optimization Toolbox, предназначенный для решения линейных и нелинейных оптимизационных задач.
Задача линейного программирования состоит в нахождении вектора x, который минимизирует целевую линейную функцию
fTx
при условии AX≤B ; X≥0,
где с=(с1, c2,…,cn) представляет собой n-мерный вектор, соствленный из коэффициентов целевой функции, причем cT – транспонированная вектор- строка; x=(x1 . xn) – n –мерный вектор переменных решений,
B=[b1
b2 m-мерный вектор свободных членов
bm]
Beq=[beq1
…
beqr] ограничения в виде равенств;
двусторонние покомпонентные ограничения в векторной форме
lb≤x≤ub
A=
Пример: задача состваления рациона питания
Имеются 3 продукта П1, П2 и П3 разной цены, каждый из которых содержит определенное количество питательных ингридиентов И1, И2, И3, И4.
Известно, что в день требуется : И1не менее 250, И2 не менее 60, И3 не менее 100 и И4 не менее 220. Требуется минимизировать затраты на приобретение продуктов. Очевидно, что количество приобретаемых процессов не может быть отрицательным..
Записываем целевую функцию, матрицу A, векторы b и lb в соответствии с требованиями Toolbox, обозначив искомые количества продуктов через x1, x2 и x3 соответственно. Поскольку линейные ограничения содержат «меньшк или равно», а количество ингредиентов в рационе не может быть менее заданных величин, то следует изменить знаки обеих частей системы.При вызове программы linprog вместо неиспользуемых ограничение (нет ограничений в виде равенств) задайте пустые массивы, обозначаемые в MATLAB пустыми скобками.
Программа ration
% задание матрицы и вектора правой части системы неравенств
A=[4 6 15
2 2 0
5 3 4
7 3 12]
A=-A;
b=[250 60 100 220];
b=-b;
% Определение коэффициентов целеой функции
f=[44; 35; 100];
% Задание ограничений снизу на переменные
lb=[0; 0; 0];
% решение и вывод результата в командное окно
x=linprog(f,A,b,[],[],lb)