42. Рассмотрите содержательные постановки задач, приводящие к моделям линейного программирования

Задача об оптимальном использовании ресурсов.

Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов.

Обозначим через

x_j…-число единиц j-го вида продукции (j=1,…,n), запланированной к производству;

b_i- запас i-го ресурса (i=1,…,m)

a_ij…-число единиц ресурса i, затрачиваемого на изготовление единицы продукции j-го вида (a_ij- технологические коэффициенты);

c_j- выручка от реализации единицы продукции j-го вида (или цена продукции j-го вида).

Тогда экономико-математическая модель задачи об использовании ресурсов в общей постановке примет вид:

Найти такой план X=(x_{1, …,} x_n) выпуска продукции, который удовлетворял бы системе ограничений:

и при котором целевая функция достигала бы своего максимального значения

Транспортная задача линейного программирования.

Пусть имеется несколько пунктов отправления, в которых сосредоточены запасы какого-либо однородного товара в определенных количествах, несколько пунктов назначения, которые хотят получить этот товар в определенных количествах. Известно, что сумма заявок на получение груза из всех пунктов назначения равна сумме запасов товара, находящегося во всех пунктах отправления. Известна стоимость перевозки единицы товара от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Требуется составить такой план перевозок, чтобы:

1. Все грузы из всех пунктов отправления были вывезены;

2. Заявки всех пунктов назначения были бы удовлетворены;

3. Суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.

Математическая формулировка этой задачи.

Обозначим через x_ij количество товара, который перевозится из пункта отправления A_i.. в пункт назначения B_j…(i=1,…,m; j=1,…,n); a_i- количество товара, сосредоточенного в пункте отправления A_i; b_j- количество товара, заявленного в пункте назначения B_j.

Первое содержательное ограничение: сумма товара, содержащегося во всех пунктах отправления, должна равняться сумме заявок на доставку данного товара, которые подали все пункты назначения. Математически это означает, что должно выполняться уравнение:

Второе содержательное ограничение: все товары, содержащиеся в в каждом из пунктов отправления, должны быть вывезены, возможно, в различные пункты назначения. Математически это означает, что должны выполняться следующие равенства:

а линейная функция

В этой задаче необходимо найти такой вектор X=(x_{11, …,} x_nm), который удовлетворял бы построенной системе ограничений и доставлял бы минимум целевой функции. Важная особенность данной задачи – соблюдение баланса между количеством товара, которое хотят приобрести по заявкам все пункты назначения, и количеством груза, имеющегося во всех пунктах отправления. Такие транспортные задачи наз. закрытыми (при несоблюдении баланса - открытыми).

43. Дайте общую математическую формулировку задачи линейного программирования

Одним из направлений математического программирования является линейное программирование, в котором ярко проявляются специфические трудности нахождения экстремума на границе допустимой области переменных.

Линейное программирование первоначально развивалось как направление, разрабатывающее новые подходы к решению задач минимизации выпуклых функций, т. е. в рамках выпуклого программирования. Выпуклое программирование посвящено нахождению экстремума выпуклой целевой функции на выпуклом множестве, обычно задаваемом в виде системы выпуклых неравенств

Задачи линейного программирования относятся к категории оптимизационных. Они находят широкое применение в различных областях практической деятельности: при организации работы транспортных систем, в управлении промышленными предприятиями, при составлении проектов сложных систем. Многие распространенные классы задач системного анализа, в частности, задачи оптимального планирования, распределения различных ресурсов, управления запасами, календарного планирования, межотраслевого баланса укладываются в рамки моделей линейного программирования. Несмотря на различные области приложения, данные задачи имеют единую постановку: найти значения переменных x₁, …, x_n, доставляющие оптимум заданной линейной формы z=c₁x₁ + c₂x₂+… + c_nx_n при выполнении системы ограничений, представляющих собой также линейные формы.