26. Способы поиска чр лнду n-го порядка с ПеремК. Неоднородное ду Эйлера.

Способы поиска ЧР:

1. подбор в виде , или многочлена

2. метод Лагранжа

3. метод Коши

(1) - неоднородное уравнение Эйлера.

Т.: общее решение неоднородного уравнения Эйлера может быть получено в квадратурах.

Доказательство: общее решение соответствующего однородного уравнения может быть получено, исходя из теории, а частное решение неоднородного – методом Лагранжа.

Т.: если в (1) имеет вид , то общее решение может быть получено без квадратур.

Доказательство: сделаем замену , получим ДУ вида . В этом случае частное решение подбирается методом неопределенных коэффициентов.

27. Системы обыкновенных ду. Каноническая и нормальная системы. Приведение ду n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, к нормальной сду n-го порядка.

Система обыкновенных ДУ – система k соотношений (1), связывающих независимую переменную x и k неизвестных функций.

Порядок системы – сумма порядков старших производных:

Система уравнений высших порядков, разрешенных относительно старших производных – каноническая.

(2).

Система (1) может быть приведена к виду (2), если

Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных – нормальная.

(3).

Каноническая система (2) может быть приведена к нормальной системе порядка . Примем все производные, стоящие справа за новые неизвестные функции: , , …, , …, . Получим систему: . Это и есть нормальная форма.

Т.: ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, приводится к нормальной СДУ n-го порядка.

Доказательство: пусть дано уравнение , введем новые функции: , , …, . Тогда запишем систему: .

28. Сду в нормальной форме. Решение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши. Геометрический смысл задачи Коши.

- система ДУ (1)

- совокупность функций – решение (1). Функции решения непрерывно дифференцируемы, и обращают уравнения системы (1) в тождества.

Задача Коши – найти решение, удовлетворяющее начальным условиям , (2). Общее решение зависит от n произвольных постоянных: . Решение, выделяемое из общего заданием начальных условий – частное решение. График частного решения – интегральная кривая в пространстве .

Геометрическая постановка задачи Коши – провести интегральную кривую через заданную точку.

29. Сду в нормальной форме. Т. Коши-Пикара. Т. Пеано. Метод Пикара как приближенный метод решения зк.

- система ДУ (1), , - задача Коши (2)

Т. Коши-Пикара: пусть дано уравнение (1) и поставлена задача Коши (2). Если в области выполняются условия: 1) определены и непрерывны по совокупности переменных; 2) - удовлетворяют условию Липшица: , то решение задачи Коши существует и единственно по крайней мере в окрестности , , .

Доказательство: аналогично одномерному случаю.

1. ЗК эквивалентна решению системы интегральных уравнений: ,

2. Строится последовательность пикаровских приближений: . Каждое из приближений определено, непрерывно и не выходит за пределы области

3. Последовательность пикаровских приближений сходится к непрерывной функции .

. Методом матиндукции: ,

. И так далее по индукции. k заменяется на nk в силу суммы в условии Липшица.

4. Совокупность - решение задачи Коши

5. Построение решения единственно (от противного). , . Всегда можно выбрать , тогда неравенство не выполнится и найдено противоречие.

Метод Пикара как приближенный метод решения ЗК

m-тое приближение аппроксимирует точное решение.

Достаточное условие выполнения условия Липшица – существование непрерывных частных производных .

Т. Пеано: если в области функции определены и непрерывны по совокупности переменных, то задача Коши имеет по крайней мере одно решение.