43. Устойчивость решений динамических систем. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Критерий Рауса-Гурвица.

Непрерывная зависимость решения от начальных условий на значит, что .

Решение устойчиво по Ляпунову, если . Решение асимптотически устойчиво в малом, если оно устойчиво по Ляпунову и . Решение, не устойчивое по Ляпунову, неустойчиво, т.е. .

Рассмотрим систему уравнений для возмущения: (1). Предположим, что функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности начала координат. Тогда линеаризуем систему, разложив правые части в ряд Тейлора и отбросив все члены разложения порядка выше первого. Получим систему уравнения по первому приближению: (2), где . Предположим, что (2) автономна, т.е. . Обозначим - матрицу, составленную из .

Т. Ляпунова об устойчивости в малом: 1) если система (2) автономна и все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение (1) асимптотически устойчиво в малом. 2) если есть хотя бы один корень с положительной действительной частью, то система нулевое решение (1) неустойчиво. 3) если есть корни с действительной частью равной 0, то устойчивость нулевого решения (1) не определяется системой в первом приближении.

Критерий Рауса-Гурвица: необходимое и достаточное условие отрицательности всех корней многочлена состоит в положительности всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица .

Необходимым условием отрицательности всех корней многочлена является положительность всех его коэффициентов. Для многочлена второй степени это условие является и достаточным.

44. Фазовая плоскость лосду 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа узел.

Состояние равновесия – фазовая траектория, для которой вектор фазовой скорости .

Рассмотрим АДС , по первому приближению сделаем замену , тогда .

, . Тогда - линеаризованная система, являющаяся ЛОСДУ с постоянными коэффициентами.

, . Тип и характер устойчивости определяются корнями , представимого в виде . Если , т.е. и , то это простое состояние равновесия, иначе – сложное.

Если , , , то это состояние равновесия типа узел. Узел устойчивый, если корни меньше 0, неустойчивый. Все фазовые траектории стремятся к состоянию равновесия при , если узел устойчивый, и при , если узел неустойчивый. Причем, все, кроме двух, касаются направления собственного вектора, отвечающего наименьшему по модулю собственному числу. Оставшиеся 2 входят по направлению другого собственного вектора.

45. Фазовая плоскость лосду 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа седло.

Состояние равновесия – фазовая траектория, для которой вектор фазовой скорости .

Рассмотрим АДС , по первому приближению сделаем замену , тогда .

, . Тогда - линеаризованная система, являющаяся ЛОСДУ с постоянными коэффициентами.

, . Тип и характер устойчивости определяются корнями , представимого в виде . Если , т.е. и , то это простое состояние равновесия, иначе – сложное.

Если , , , то это состояние равновесия типа седло. Существуют две траектории, стремящиеся к состоянию равновесия при и две траектории, стремящиеся к нему при . Это т.н. сепаратрисы, которые направлены по направлению собственных векторов и разделяют 4 потока фазовых траекторий, огибающих состояние равновесия.