52. Теоремы о числе первых интегралов нормальной cду и числе независимых первых интегралов.

- система (1)

Т.: нормальная система (1) в области G выполнения условий т. Коши-Пикара не может быть более n независимых интегралов.

Т.: всякая непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция от независимых интегралов – также интеграл системы (1) в области G.

Следствие: система (1) имеет бесчисленное множество полных систем независимых интегралов.

53. Понижение порядка сду с помощью независимых первых интегралов.

Т.: если известно независимых первых интегралов, то порядок системы может быть понижен на k единиц. Если известны n независимых первых интегралов, то они составляют общий интеграл системы.

Т.: чтобы получить в квадратурах общее решение автономной системы достаточно знать первые независимых первых интегралов, не содержащих независимой переменной.

54. Сду в симметрической форме. Интегрируемые комбинации.

- система (1)

Первые интегралы находятся путем построения интегрируемых комбинаций. Для их нахождения удобно записать нормальную систему (1) в виде симметрической системы: (2). - равноправные, любая может быть независимой, остальные – функциями.

Т.: если в не все одновременно обращаются в 0, то в окрестности систему (2) можно записать в виде нормальной системы порядка .

Решением (интегралом (первым интегралом)) симметрической системы будет решение (интеграл (первый интеграл)) соответствующей нормальной системы. Симметрическая система имеет не более независимых первых интегралов.

Т.: всякую нормальную систему всегда можно записать в симметричной форме:

Интегрируемые комбинации выделяются на основе свойств равных отношений:

а) ; б)

Для решения системы (1) берут:

1. пары отношений, допускающие разделение переменных

2. пропорции, чтобы числитель был полным дифференциалом знаменателя

3. пропорции, чтобы числитель был полным дифференциалом, а знаменатель нулем.

55. Лоду в чппп. Характеристическая система.

уравнение (1), где - искомая функция.

ДУ линейно относительно частной производной. Предполагается, что в области функции и определены, непрерывны и непрерывны дифференцируемы и все одновременно.

Решение уравнения (1) – функция , имеющая непрерывные частные производные и обращающая (1) в тождестве по . Уравнение (1) – линейное неоднородное. Если и не зависит от , то уравнение линейное однородное: (2). Уравнение (2) имеет очевидное решение .

Т.: любое решение уравнения (2), корме очевидных , приравненное к произвольной постоянной является первым интегралом характеристической системы (3). И, наоборот, левая часть любого первого интеграла системы (3) является решением (2), отличным от очевидных.

Следствие: уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений.

Доказательство: система (3) имеет первых интегралов, любая дифференцируемая функция от них – тоже первый интеграл.

56. Лоду в чппп. Теорема об общем решении.

уравнение (1), где - искомая функция.

ДУ линейно относительно частной производной. Предполагается, что в области функции и определены, непрерывны и непрерывны дифференцируемы и все одновременно.

Решение уравнения (1) – функция , имеющая непрерывные частные производные и обращающая (1) в тождестве по . Уравнение (1) – линейное неоднородное. Если и не зависит от , то уравнение линейное однородное: (2). Уравнение (2) имеет очевидное решение .

- характеристическая система (3)

Т.: если - независимые первые интегралы системы (3), то общее решение уравнения (2) имеет вид , где - произвольная непрерывная непрерывно дифференцируемая функция.