46. Фазовая плоскость лосду 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа фокус и центр.
Состояние равновесия – фазовая траектория, для которой вектор фазовой скорости .
Рассмотрим АДС , по первому приближению сделаем замену , тогда .
, . Тогда - линеаризованная система, являющаяся ЛОСДУ с постоянными коэффициентами.
, . Тип и характер устойчивости определяются корнями , представимого в виде . Если , т.е. и , то это простое состояние равновесия, иначе – сложное.
Если
,
,
то это состояние равновесия типа фокус.
Фокус устойчивый, если
,
неустойчивый, если
.
Все фазовые траектории стремятся к
состоянию равновесия, не имея предельного
направления касательной, имеют вид
спирали. Направление закручивания идет
по вектору фазовой скорости.
Если
и система линейна, то это состояние
равновесия типа центр. Все фазовые
траектории замкнуты и охватывают
состояние равновесия. Если система
нелинейна, то неизвестно, центр это или
фокус. Для наличия центра достаточно
существования симметрии относительно
прямой, проходящей через исследуемое
состояние равновесия.
47. Фазовая плоскость лосду 2 порядка с ПостК. Состояние равновесия типа вырожденный узел и дикритический узел.
Состояние равновесия – фазовая траектория, для которой вектор фазовой скорости .
Рассмотрим АДС , по первому приближению сделаем замену , тогда .
, . Тогда - линеаризованная система, являющаяся ЛОСДУ с постоянными коэффициентами.
, . Тип и характер устойчивости определяются корнями , представимого в виде . Если , т.е. и , то это простое состояние равновесия, иначе – сложное.
Если
,
то требуется посчитать
.
Если
,
то это состояние равновесия типа
вырожденный узел. Вырожденный узел
устойчивый, если
,
неустойчивый, если
.
Все фазовые траектории стремятся к
состоянию равновесия, касаясь направления
собственного вектора.
Если
,
то это состояние равновесия дикритический
узел. Дикритический узел устойчивый,
если
,
неустойчивый, если
.
Все фазовые траектории стремятся к
состоянию равновесия, причем каждая по
своему направлению.
48. Исследование устойчивости решений динамических систем с помощью функции Ляпунова.
, (1) – динамическая система.
Пусть выполняются условия теоремы
Коши-Пикара, рассмотрим решение
и запишем систему для возмущения:
(3), где
.
Рассмотрим в области
функцию
.
Она обладает свойствами: 1) непрерывности
в
;
2) непрерывной дифференцируемости в
;
3)
.
Функция
- знакопостоянная в
,
если она не меняет знака в
.
Функция
- положительно строго определенная в
,
если
при
и
.
Функция
- знакоопределенная в
,
если она знакопостоянная в
и выполняется одно из условий: а)
;
б)
,
где
- непрерывная положительно определенная
функция.
Знакопостоянная функция может принимать
нулевые значения при
.
Полной производной от функции
по времени в силу системы (3) называется
выражение
.
I теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , для которой полная производная есть функция знакопостоянная знака, противоположного с или тождественно равная 0, то нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову.
Функция
имеет бесконечно малый высший предел,
если она при
в окрестности 0 удовлетворяет условиям:
1) если хотя бы одно
конечно, то
тоже конечна (
);
2)
мала, если все
малы (
).
II теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , имеющей бесконечно малый высший предел, для которой полная производная есть функция знакопостоянная знака, противоположного с , то нулевое решение является асимптотически устойчивым.
III теорема Ляпунова: если система (3) допускает существование дифференцируемой знакоопределенной функции , имеющей бесконечно малый высший предел, для которой полная производная есть функция знакопостоянная одного знака с , то нулевое решение является неустойчивым.