Синусоидальный режим в однородной линии. Волновое сопротивление линии. Коэффициент распространения. Общий вид уравнений однородной линии.
Обозначим комплексные
действующие значения напряжения и тока
на расстоянии x
от начала линии через
и
Применяя комплексную
форму записи, получаем на основании
уравнений
(1) следующие уравнения
(2).
Поскольку
комплексные величины
и
не зависят от t
и являются функциями только x,
при переходе от уравнений (1) к (2) частные
производные по x
заменены обыкновенными.
Исключая из системы (2) ток , получаем уравнение относительно :
(3)
Аналогично, исключая из системы (2) напряжение , получаем уравнение относительно :
(4)
Введём обозначение
(5)
и назовём эту величину коэффициентом распространения. Итак, уравнения (3) и (4) записываются в виде:
(6)
Получились однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение первого уравнения системы (6) имеет вид:
(7)
Ток проще всего находится подстановкой решения (7) в первое уравнение системы (2):
или
(8)
где
(9)
называется волновым сопротивлением линии.
Подставим (5) в (7), получим:
Мгновенное значение
напряжения в точке x
равно мнимой части выражения
(10)
где
,
- аргументы комплексных величин A1
и A2
соответственно.
Синусоидальный режим в однородной линии. Обратная волна. Длина волны. Фазовая скорость.
Фазовая скорость
обратной волны
знак «-» указывает, что обратная волна
движется в направлении, противоположном
направлению прямой волны.
Итак, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях, причём каждая из этих волн затухает в направлении движения.
На основании
формул
и
запишем:
т.е. за время, равное одному периоду, падающая и отражённая волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.
Математическая модель длинной линии при синусоидальном воздействии. Коэффициенты отражения n1 и n2.
Линии, длина которых соизмерима с длиной волны, считаются длинными линиями. На высоких частотах практически любая протяжённая электрическая цепь становится «длинной» по отношению к длине волны.
Возвращаясь к
уравнениям
и
и записывая прямую и обратнуюволны в
комплексной форме, имеем:
где
Напряжение и ток
прямой и обратный волн связаны законом
Ома:
Это соотношение объясняет смысл термина «волновое сопротивление».
Постоянные интегрирования A1 и A2, находятся в зависимости от напряжения и тока в начале линии при заданных граничных условиях. При x=0
откуда
Введём понятие коэффициента отражения волны в начале линии
где
-
входное сопротивление линии.
Подстановка A1 и A2 даёт:
Если заданы
граничные условия на конце линии, то
удобнее отсчитывать расстояние от
конца, приняв координату
Для A1
и A2
получаем следующие выражения:
Получим окончательные результаты для U и I
Где аналогично предыдущему n2-коэфициент отражения в конце линии
Где
выходное сопротивление в конце линии.
55. Вторичные параметры однородной линии. Зависимость коэффициентов a и b от частоты. Волновое сопротивление линии.
Вторичными линиями,
или характеристическими, параметрами
линии являются коэффициент ослабления,
коэффициент фазы
и волновое сопротивление
,
которые выражаются через первичные
параметры линии и частоту.
Из выражения
следует, что
,
откуда
;
.
Совместное решение этих уравнений дает
Из полученных
выражений следует, что
и
в общем случае зависят от частоты.
Однако, как показывает исследование, в
отличие от коэффициента ослабления,
который изменяется в сравнительно
ограниченных пределах, коэффициент
фазы неограниченно растет с частотой.
Полученные выражения
неудобны для практического применения
ввиду их громоздкости. Существует ряд
приближенных расчетных формул для
вычисления вторичных параметров линии,
учытывающих, что в области высоких
частот сопротивление
весьма
мало по сравнению с
,
а проводимость
ничтожна
мала по сравнению с
.
Для уменьшения потерь при передаче электромагнитной энергии по линии стремятся к тому, чтобы сопротивление линии и проводимость изоляции были по возможности малы.
Волновое сопротивление линии
При постоянном
токе
и бесконечной частоте
имеет действительные значения
и
В остальной части диапазона частот
волновое сопротивление имеет емкостный
характер, так как обычно
