- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
Очевидно, что и имеют одинаковые распределения вер-ей. т.к. , а и-а симм. относ. 0 и частица b дискретной модели дви-жется вправо и влево с одинак. веро-ятностями. поэтому будем считать в дальнейшем a>0.Найдем след. вер-сть: . Рассм. след. вер. :
Рассм. событие :
Из .Если исп. операции над мн-ами., то .
если рассм. круги Эйлера. Из всего этого видно ( )
Условная вероятность равна веро-ятности того что после выхода и т. а в некот. момент вр. t нах-ся правее точки а [вероятность нахождения в т. а в мом. вр. ]. Из соображения симм-ти вытекает, что эта вер-сть ок-ся в этом момент вр. левее т. а
Из ( ) и
. Отсюда , что ф-ия распределения:
, при .
Т.к. t-время, нач-щееся с нуля. Найдем плотность распределения СВ .
Рассм.
Отметим еще одно св-во:
=
для любой т. а величина конечна с вероятностью 1. Это означает, что броуновская частица рано или поздно (в некот. случ. момент вр.) попадает в люб. т. а.
20.Распределение случайной величины Yt = max X(s) (0≤s≤t) для стандартного винеровского процесса.
Рассмотрим 2 СВ: -величина максимального смещения вправо броуновской частицы и -момент времени, в который траектория X(t) достигает впервый раз точки а.
Каждому t соответствует одно х.
Распределение вероятностей . Очевидно, что и имеют одинаковые распределения вероятностей. Т.к. Х(0)=0, а и –а симметричны относительно 0 и частица в дискретной модели движется в право и влево с одинаковой вероятностью. Поэтому будем считать в дальнейшем a>0. Найдем следующую вероятность: .
Для этого рассмотрим следующую вероятность(*):
Условная вероятность равна вероятности того, что после выхода из точки а в некоторый момент времени предшествующий t, частица в момент времени t находится правее точки а (вероятность нахождения в точке а в момент времени t=0) (**)
Из (*) и (**) следует:
Отсюда следует, что функция распределения: при t>0. приt<0.
Т.к. t время начинающееся с нуля.
Найдем плотность распределения СВ
.Найдем
и .
Отметим еще одно свойство, найдем вероятность события:
Для любой точки а величина конечна с вероятностью 1. Это означает, что броуновская частица в некоторый случайный момент времени попадает в любую точку а.
Рассмотрим СВ
Пусть x>0.Рассмотрим 2 события:
и
Максимальное отклонение от начала координат за время .
Пусть произойдет событие А, тогда верно .Верно и обратное . Значит .Следовательно, вероятности этих событий одинаковы:
Найдем функцию распределения и плотность распределения:
при x>0 при x<0.
Отметим следующий факт
СВ имеет удвоенный нормальный закон распределения вероятностей.
Отметим следующий факт
Можно рассматривать
Т.о. эти 2 равенства означают , что броуновская частица за любое сколь угодно малое время t>0 побывает как правее исходной точки так и левее ее.
21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
Случайный процесс X(t), где называется Пуассоновским, если он удовлетворяет следующим свойствам:
1)Х(0)=0;
2) X(t) процесс с независимыми приращениями;
3)В случайный момент времени происходят приращения значения X(t)на единицу времени, причем для любого момента времени имеет место следующее равенство:
,
, интенсивность.
,
, .
К ПП относятся:
-процесс радиоактивного распада, где X(t)-число атомов распавшихся за время е;
-поток заявок на АТС, где X(t)-число вызовов за время е;
-сбои аппаратуры, где X(t)-число сбоев за время t, и т.д.
Рисунок
Найдем одномерный закон распределения ПП X(t). Введем обозначения:
,n=0,1,…
Задача состоит в отыскании вероятности .Рассмотрим событие
Это событие представим в виде следующей суммы событий
При n=0:
Слагаемые в правой части –это несовместные события. А случайные величины и -независимые, т.к. интервалы времени и не пересекаются.
X(t) -процесс с независимыми приращениями. Поэтому получаем
Отсюда и из свойства 3) определения ПП следует:
(*)
Для n=0 имеем: (**)
Теперь будем работать с (*) и (**):
Для n=0 имеем
Делим обе части этих равенств на и переходим к пределу при :
и
, при n>1
Решая данное дифференциальное уравнение с начальными условиями , получаем: