- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
Имеется совокупность частиц, которые с течением времени превращаются в частицы такого же типа или исчезают.
При этом каждая из исходных частиц за промежуток времени t независимо от др. ч-ц и от обстоятельств, предшествовавших исходному моменту, и одинаков. для всех част-ц вер-стью pn(t) переходит в группу из n ч-ц.
Введём обозначения:
пусть X(t) – число ч-ц, имеющихся в момент времени t.
Очевидно, что эволюция вел-ны X(t) представляет собой однородный Марковский пр-сс. Будем называть его ветвящимся.
Пусть в исх. момент времени t0=0 имеетя k ч-ц:
Xi(t) – число имеющихся в момент времени t ч-ц, порождённых i-той ч-цей.
Тогда: X(t)=X1(t)+ X2(t)+…+ Xk(t), t=1,2,…,k.
Случ. в-ны Xi(t), где i = 1,2,…,k независимы и имеют одно и то же распределение вероятностей: P(Xi(t)=n) = pn(t).
Предположим, что отдельн. ч-ца за мал. пром-к времени Δt с вер-ю pn(Δt) = λnΔt + Ỗ(Δt), при n≠1 превращается в n новых ч-ц (или исчезают при n=0), а с вер-ю p1(Δt) = 1 – λ(Δt) + Ỗ(Δt) остаётся неизменной.
λn≥0, λ≥0.
Обозначения: λ1 = - λ , Σi λi=0 .
Будем предполагать, что переходные вероятности pkn(t) удовл-т обратной сис-ме ДУ Колмогорова:
p1n`(t) = Σk=0∞ λk pkn(t) (*), n=0,1,2,…
pkn(t) - вер-сть того, что k ч-ц за время t переходят в n ч-ц.
Введём следующие ф-ции:
F(t,z) = Σn=0∞ pin(t)zn - поколение одной ч-цы,
Fk(t,z) = Σm=0∞ pkn(t)zn k=0,1,2,… - поколение k ч-ц
Эти ф-ции наз-ся производящими (ф-циями данного ветвящегося пр-сса).
Отметим, что ряды, опред-ие ф-ции F(t,z) и Fk(t,z), сход-ся при |z≤1|, z€C.
[Ряды Σn=0∞|pin(t)zn| и Σm=0∞|pkn(t)zn| сход-ся, потому и ряды выше сх-ся абсолютно.]
31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
Имеется совокупность частиц, которые с течением времени превращаются в частицы такого же типа или исчезают. При этом из исходных частиц за промежуток времени t независимо от других частиц и от обстоятельств, предшествовавших исходному моменту, с одинаковой для всех частиц вероятностью переходят в группу из n частиц. Пусть X(t) – число частиц, имеющихся в момент времени t. Очевидно, что эволюция величины X(t) представляет собой однородный Марковский процесс. Будем называть его ветвящимся.
Пусть в исходный момент времени имеется k частиц. Обозначим через независимы и имеют одно и тоже распределение вероятностей: , n=0,1,2,…
Очевидно, что .
Предположим, что отдельная частица за малый промежуток времени с вер-ю превращается в n новых частиц (или исчезают в случае ), а с вероятностью
остается неизменной. Обозначим . -предположение.
, - сходится абсолютно.
- удовлетворяет ДУ Колмогорова:
[1], где - вероятность того, что k частиц за время t переходят в n частиц. Введем производящие функции: ,t-параметр
z- комплексная переменная,
Свойства производящих функций:
1.Ряды определяющие ф-ции и сходятся при . 2. В силу [1] имеем, что все (равномерно по n ограничены и const единств для всех n).
-сходится
=> - сходится к
а наш ряд отличается лишь одним слагаемым | |, во всех остальных модуль можно убрать.
Зн. при ряд будет сходится равном, но по . , . Далее воспользуемся т.Вейерштрасса:
- сходится при . - наш ряд сх равномерно. Поэтому ряд можно почленно продифф-ть по t. Дифф-ем и используем [1]:
Т.о. [2]
, . Т.к. , - независимые СВ =>
Посчитаем при , т.е.
- справедливо.
Равенство [2] можно переписать в виде: [3]
Будем считать, что заданными параметрами ветвящегося
Процесса явл. плотность перехода, т.е Введем в рассмотрение ф-цию
Функция f(x) является аналитической при -1<x<1, т.к ряд инт-м. В силу [3] F(t,z) явл-ся решением ДУ:
Определимся с нач условиями:
Т.о F(t,z) –решение указанного ур-я, удовлетворяет нач. условию