- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
Рассмотрим . Внутри [0;1) функция является аналитической. Заметим, что при х=1 ряд, сходится. По теор. Абеля ряд сходится равномерно на [0;1] => S(x) – сумма ряда явл. функцией непрерывной на [0;1] => непрерывна слева в х=1 => f(x) – непрерывна на [0;1].
В точке х=1 функция f(x) может не иметь конечной производной.
Найдем 2-ую производную от функции f(x): =>
1) если при на (0;1), зн-т f(x) – выпукла вниз на (0;1).
2) если при , зн-т на инт-ле (0;1) ф-ия f(x) будет линейной, т.е. , где .
Отметим характерные точки f(x). Зн-ие х=1 явл. корнем ур-я f(x)=0[т.к. =0].
В силу св-в ф-ии f(x) это ур-ие f(x)=0 может иметь еще один корень .
Если этим корнем явл. х=0.
Если .
Предположим - наим. корень ур-я f(x)=0 на отр. [0;1] => - инт. кривая ДУ .
Пусть
Рассмотрим интегральную кривую: Рассмотрим как ведет себя t(x) при
, если ;
, если
!!!
=> наш интеграл расходится
Из вышесказанного => x(t) строго возрастает при . В силу теоремы Вейерштрасса конечный предел:
Можно показать, что предельное зн-ие явл. корнем ур-я f(x)=0. Т.к. - наим. корень ур-ия f(x)=0 на [0;1]=> .
Аналогично при можно рассм. инт. кривую, проходящую через точку . x(t) – строго убывает при , ,
Если , исследуем вопрос о числе инт. кривых, проходящих через точку t=0, x=1:
1) Допустим,
Этот ин-л расходится, когда
Тогда
Интегральная кривая примет вид: для точки ур-ние.
Найдется такое, что - это наше время, => инт. кривая в момент времени t=0 находится в точке z => инт. кривая пересекает в точке (0,z) => x(t)=1 – единственная инт. кривая, проходящая через (0,z).
2) Допустим, что интеграл , т.е. сходится. Тогда при большом может случиться, что . Выйдет на инт. кривую x=1 в какой-то момент времени => через (0;1) проходит семейство инт. кривых , каждое из которых отвечает своему , где - момент выхода инт. кривой на x=1, если идти в обратную сторону.
Легко видеть, что , где x(0,z)=z. Т.е. - предельная для других инт. кривых x(t,z) лежащих ниже ее. случиться, что ерез ()т вид зн-ие явл.
35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
Если для некоторого ветвящегося процесса λ0=0, то имеется положительная вероятность того, что через некоторое время t не останется ни одной частицы. Если в исходный момент времени имелась одна частица, то
p0(t)=F(t,0) , где F(t,0) – интегральная кривая, выходящая из начала координат.
p0(t) – решение дифференциального уравнения x’=f(x), x(0)=0
pk0(t)=Fk(t,0)=[F(t,0)]k=[pk(t)]k
В силу доказанного, имеем, что p0(t)α при t∞.
Предельное значение p0=α называется вероятностью вырождения.
Если 0≤х<1, f(x)>0 следовательно, α=1.
Рассмотрим явление взрыва. Вероятность того, что взрыв произойдёт до момента времени t, если была одна частица, получится:
p∞(1)=1-P{X(t)<∞}=1- ∑∞ n=0P{X(t)=n}=
=1-∑∞ n=0pk(t)=1- limz 1-0 F(t,z)
Когда x(t)≡0, то единственная интегральная кривая проходит через точку (0;1).
Имеем: Т. о., если ,
,
то p∞(t)=0 – возможность взрыва исключена. Если интеграл сходится, то
Т о, p∞(t)=l-x0(t)- вероятность вырождения p∞(t)>0 для t>0.