- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
2. Линейная регрессия.
Наблюденные данные для случайного вектора (X,Y) представим в виде таблицы, наз. корреляционной.
x\y |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ; = ;
Допустим, что по распределению точек ( , ) на корреляционном поле сделан вывод о линейной зависимости. Найдем уравнение прямой регрессии в виде =ax+b.
Координаты выражаются так, чтобы Для нахождения min имеем систему
Введем обозначения:
- подставим в уравнение регрессии
1-ое для дискретной, 2-ое для непрерывной.
наша прямая проходит через точку
Черточка наверху означает, что это статистическая ковариация
ковариация X и Y
ковариация статистич. сл. в X,Y
или
-искомое уравнение регрессии
Опр. Выражение называется статическим коэффициентом регрессии Y на X. Аналогично определяется статический коэффициент регрессии X на Y .
Очевидно, что и имеют одинаковые знаки.
3. Статистический коэффициент корреляции
Опр.Статистическим коэффициентом корреляции СВ и между которыми существует линейная корреляционная связь называется величина:
Выразим через и , где
Свойства:
Теорема 1 Величина не зависит от выбора единиц измерения СВ , Proof. Пусть - пары набдюдённых значений , . Умножим на , на , получим: Тогда
Теорема 2 Имеет место неравенство: Proof. Пусть - различные пары наблюдённых значений , . Рассмотрим выражение
Очевидно (по определению ) ,тогда из чего следует что
5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
Опр. Статистическим коэффициентом корреляции СВ и , между которыми существует линейная корреляционная связь, называется величина:
Выразим через статистические коэффициенты регрессии и
+ , если и > 0
- , если и < 0
Выразим и через
Теорема: Если =0, то между СВ нет линейной корреляционной связи.
Доказательство: Предположим, что линейная корреляционная связь есть.
И рассмотрим уравнение линейной регрессии:
линейной корреляционной зависимости нет,
т.к. различным значениям x соответствуют одинаковые средние значения .
- = (y- )
И различным значениям СВ Y соответствуют значения .
6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
Различают 2 вида зависимостей: функциональная и стохастическая (вероятностная).
Функциональная зависимость – это однозначное отображение множества значений СВ X в множество значений СВ Y.
Опр. Статистическим коэффициентом корреляции СВ и , между которыми существует линейная корреляционная связь, называется величина:
Теорема: = ±1 тогда и только тогда, когда между X и Y существует линейная функциональная связь.
Доказательство: (=>) Предположим, что между X и Y существует линейная функциональная связь, то:
=a +b , a≠0
= =
( ) ~ = n
= a +b
= = = {
(<=) = ±1
= (1- ) = 0
≠ 0
= 0
= + ) => ( ) лежат на одной прямой:
y = + (x - ) , => между X и Y существует линейная функциональная связь.