6. 1 Кинематическое исследование зубчатого механизма

Структурная схема механизма представлена на рисунке 1. Механизм имеет две ступени. ▌* Правило: см. пособие [2], страница 47. *▐ Первая ступень – это простейшая зубчатая передача с неподвижными осями колес Z1 и Z2; вторая ступень ­– планетарная передача. Требуется определить угловые скорости всех звеньев и скорость центра масс сателлита планетарной ступени.

Угловую скорость колеса Z1 вычисляем по известной формуле при заданной номинальной частоте вращения ротора электродвигателя:

. (1)

Передаточное отношение от колеса Z1 к колесу Z2 равно

. (2)

▌* Построить схему, обозначить водило Н, колеса Z1 и Z2 и т.д.

Показать размер . *▐

Рисунок 1– Схема зубчатого механизма

По формулам (1), (2) вычисляем передаточное отношение и скорости

= . . ., …., =…

Для определения передаточного отношения планетарной ступени найдем незаданное число зубьев ▌* дописать Z3 или Z4 в зависимости от задания *▐ из условия соосности зацеплений сателлита с центральными колесами. Запишем равенство межосевых расстояний этих зацеплений

▌* в заданиях 1 и 2 *▐

, (3)

▌* в заданиях 3 и 4 *▐

, (3)

где – радиусы начальных окружностей колес.

Будем считать, что все зацепления планетарной ступени нулевые или равносмещенные. Тогда начальные окружности совпадают с делительными и условие (3) можно выразить через числа зубьев колес:

▌* записать соотношение в общем виде. *▐

Отсюда

▌* выразить незаданное Z3 или Z4 в виде формулы. Вычислить. *▐

Передаточное отношение планетарной ступени найдем с помощью формулы Виллиса ▌* см. пособие [2], подраздел 3.4.2.*▐ .

▌* Текст для заданий 1 и 2. *▐

Передаточное отношение от колеса к водилу Н равно

. (4)

Передаточное отношение при остановленном водиле Н ( в обращенном движении) выразим через числа зубьев:

(5)

По формуле (4), подставляя (5), вычислим передаточное отношение планетарной ступени. Учитывая, что , найдем также угловую скорость водила и равную ей скорость кривошипа 1 рычажного механизма:

…., =….

Общее передаточное отношение редуктора равно произведению передаточных отношений ступеней:

. (6)

Подставив значения, вычислим

U_р =……

Для определения угловой скорости сателлита запишем передаточное отношение от сателлита к неподвижному колесу планетарной ступени через угловые скорости в обращенном движении и выразим его через числа зубьев:

. (7)

Учитывая, что , находим

=…..

▌* Текст для заданий 3 и 4. *▐

Передаточное отношение от водила Н к колесу равно

(4)

Передаточное отношение в обращенном движении (при остановленном водиле) выразим через числа зубьев колес:

. (5)

По формуле (4), подставляя (5), вычислим передаточное отношение планетарной ступени. Учитывая, что , найдем также угловую скорость колеса Z5 и равную ей скорость кривошипа 1 рычажного механизма:

….., ……

Общее передаточное отношение редуктора равно произведению передаточных отношений ступеней:

. (6)

Подставив значения, вычислим

U_р =……

Для определения угловой скорости сателлита запишем передаточное отношение от сателлита к неподвижному колесу планетарной ступени через угловые скорости в обращенном движении и выразим его через числа зубьев:

. (7)

Учитывая, что , , находим

=……..

▌^* Общий текст ^* ▌

Центр масс сателлита находится на оси его симметрии, поэтому скорость равна скорости точки, расположенной в конце водила:

. (8)

Величину возьмем по модулю; , м, – расстояние от оси вращения водила Н до оси сателлита, равное межосевому расстоянию в зацеплениях сателлита с центральными колесами:

▌^* Записать в общем виде (перевести в метры). ^* ▌ (9)

Поставив (9) в формулу (8), вычислим

▌^* Записать в общем виде, подставить значения, записать ответ. ^* ▌

Результаты кинематического исследования зубчатого механизма:

▌* Задания 1 и 2 *▐

……..; U_р =……

▌* Задания 3 и 4 *▐

……..; U_р =……

▌^* Уравнения движения машины. Для исследования движения машины, степень свободы которой W=1, удобно использовать теорему об изменении кинетической энергии:

, (*)

где Т, Т₀ – кинетическая энергия системы в некотором произвольном (текущем) и в начальном положениях; – сумма работ всех сил, приложенных к звеньям, на перемещении системы из начального положения в текущее.

Кинетическая энергия машины равна

, к = 1,2,… – номер звена.

Выберем одно из звеньев в качестве начального. Умножим и разделим сумму кинетических энергий звеньев на квадрат угловой скорости начального звена и после преобразования получим

.

Результат показывает, что кинетическую энергию машины можно представить как кинетическую энергию одного условного тела, угловая скорость которого равна скорости начального звена и которое имеет момент инерции относительно оси вращения

.

Величина I_пр называется приведенным моментом инерции машины. Он складывается из момента инерции начального звена и моментов инерции условно добавленных к начальному звену (приведенных) масс. Каждая добавленная масса заменяет одно из звеньев машины и имеет одинаковую с ним кинетическую энергию. Начальное звено в этом случае называется звеном приведения.

Таким образом, приведённый момент инерции определяется из условия равенства кинетической энергии всей машины и кинетической энергии звена приведения. Удобство этой величины заключается в том, что отношения скоростей (в скобках) в любом положении машины не зависят от величины этих скоростей. Поэтому приведенный момент инерции в любом положении можно определить, не зная действительного движения машины.

Заменим, далее, каждую j-ую силу условным (приведенным) моментом , приложенным к звену приведения. Условием замены является, в соответствии с уравнением (*), равенство работы приведенного момента и работы заменяемой силы. Это равенство должно выполняться не только на всем перемещении из начального в конечное положение, но и на любом промежуточном бесконечно малом перемещении. Тогда каждый миг приведенный момент будет стремиться изменить кинетическую энергию системы так же, как данная заменяемая сила.

Таким образом, условием приведения сил является равенство элементарных работ приведенного момента и приводимой силы:

.

Разделим это равенство на бесконечно малое время dt, за которое произошло перемещение, получим равенство мощностей:

или ,

где – угол между направлениями силы и скорости точки её приложения.

Если силы, приложенные к звену, образуют пару с моментом М_к, то можно записать равенство мощностей

или .

Отсюда находим приведенные моменты от сил и от моментов сил

, .

Складывая эти моменты, получаем суммарный приведенный момент М_пр. Его работа равна сумме работ всех сил на любом перемещении при повороте звена приведения на угол :

,

где – элементарная работа момента.

В результате этих преобразований при W=1 можно построить одномассовую модель машины, рисунок 2.Р: звено приведения имеет момент инерции I_np и под действием приведенного момента сил М_пр вращается так, что его скорость всегда равна угловой скорости начального звена машины. Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии для звена приведения, эквивалентно уравнению (*) для всей машины и называется уравнением движения машины в интегральной форме:

.

Запишем для звена приведения теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

или .

Разделим второе равенство на , возьмем производную и после преобра­зования получим дифференциальное уравнение движения машины

.

В общем случае I_np зависит от положения машины (от обобщенной ко­ординаты ); момент М_пр может зависеть от , от скорости и от времени t. Момент М_пр часто раскладывают на момент движущих сил и момент сил сопротивления. В курсовой работе момент зависит только от скорости, а момент – от координаты . ^* ▌