Посторонние атрибуты

Пусть F – неизбыточное множество ФЗ. В этом случае удаление любой ФЗ приводит к множеству, не эквивалентному данному. Но ситуацию иногда можно улучшить за счет уменьшения количества атрибутов в некоторых ФЗ.

Определение. Атрибут AR называется посторонним в XYF, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1. X = AZ, X  Z, (F – {XY}){ZY}  F;

2. Y = AW, Y  W, (F – {XY}){XW}  F.

Иначе говоря, атрибут посторонний в ФЗ относительно некоторого множества ФЗ, если его можно удалить из правой или левой частей этой ФЗ без изменения замыкания получившегося множества ФЗ.

Пример

Пусть F = {ABC, BC, ABD}.

Атрибут C посторонний в правой части ABC.

Атрибут B посторонний в левой части ABD.

Конец примера

Определение. ФЗ XY  F называется полной или редуцированной слева (редуцированной справа), если X (если Y) не содержит атрибута A, постороннего в XY. ФЗ называется редуцированной, если она является полной, редуцированной справа и Y  . Само множество F называется редуцированным (слева, например), если редуцирована (слева) каждая его ФЗ.

Канонические покрытия

Определение. Неизбыточное множество ФЗ, редуцированное слева, называется каноническим, если каждая его ФЗ имеет вид XA.

Заметим, что каждая ФЗ канонического множества редуцирована и справа тоже, поскольку имеет один атрибут справа и F неизбыточно. Если правый атрибут удалить, то возникает ФЗ вида X, который можно удалить из F, что противоречит неизбыточности. Таким образом, всякое каноническое множество редуцировано.

Пример

Пусть F = {AB, AC, AD, AE, BIJ } – каноническое покрытие для G = {ABCE, ABDE, BIJ }.

Конец примера

Утверждение. Если F – редуцированное покрытие, то его покрытие G, полученное расщеплением ФЗ XA₁… A_m на XA₁,…, XA_m, будет каноническим.

Структура неизбыточных покрытий

Как соотносятся два неизбыточных покрытия G и H множества ФЗ F? Будем говорить, что атрибуты X и Y эквивалентны относительно F, если F |= XY и F |= YX. Обозначим эквивалентные атрибуты следующим образом: XY.

Лемма. Пусть G и H – эквивалентные неизбыточные покрытия множества ФЗ F над схемой R, XY  G. Тогда в H существует ФЗ VW такая, что XV относительно G.

Перефразировка: для заданных эквивалентных неизбыточных покрытий G и H и каждой левой части X ФЗ из G существует эквивалентная левая часть V в ФЗ из H.

Пример

Пусть F = {ABC, BA, ADE}, G = {AABC, BA, BDE}. F, G – неизбыточны и эквивалентны. Здесь AA, BB, ADBD.

Конец примера

Пусть F – множество ФЗ над схемой R, X  R. Пусть E_F(X) – множество ФЗ с левой частью, эквивалентной X. Обозначим

E_F = { E_F(X) | X  R, E_F(X) ≠  }

Если в F не существует ФЗ с левой частью, эквивалентной X, E_F(X) пусто. Множество E_F – разбиение F. При заданных эквивалентных неизбыточных F и G E_F(X) не пусто тогда и только тогда, когда не пусто E_G(X). Следовательно, E_F содержит столько же множеств, сколько и E_G .

Пример

Пусть F, G – из предыдущего примера. Тогда

E_F = {

E_F(A) = { ABC, BA}

E_F(AD) = { ADE }

}

E_G = {

E_G(A) = {AABC, BA}

E_G(AD) = {BDE}

}

Конец примера

Оптимальные покрытия

Определение. Множество ФЗ F минимально, если оно содержит не больше ФЗ, чем любое эквивалентное множество ФЗ.

Определение. Множество X прямо определяет множество Y относительно множества ФЗ F (обозначается X Y), если для F существует неизбыточное покрытие G, в котором ФЗ XY выводима только из ФЗ из G – E_G(X).

Теорема. Пусть F и G – эквивалентные минимальные множества ФЗ, тогда для любого F справедливо равенство |E_F (X)| = | F_G (X)|.

Определение. Множество F оптимально, если не существует эквивалентного множества с меньшим числом атрибутных символов.

Утверждение. Если F – оптимальное множество ФЗ, то оно редуцировано и минимально.

Кольцевые покрытия и составные ФЗ

Определение. ФЗ вида (X₁, X₂,…, X_n) Y называется составной (СФЗ). Отношение удовлетворяет этой зависимости, если оно удовлетворяет ФЗ X_i X_j и X_iY.

Определение. Множество F называется кольцевым, если не существует различных левых множеств X и Y, таких, что XY в F.

Лекция 16

Возвращение к НФ

2 нормальная форма

Множество Y для ФЗ XY из F⁺ называется частично (полностью) зависимым от X, если XY не является (является) полной ФЗ, то есть X  X  (XY)  F⁺ (не X  X  (XY)  F⁺).

Определение. Схема отношения R находится во второй НФ относительно множества ФЗ F, если для каждого атрибута A значения adom(A) атомарны и каждый атрибут, не содержащийся ни в каком ключе схемы R (он называется непервичным в R), полностью зависит от каждого ключа для R.

Схема БД R имеет вторую НФ относительно F, если каждая схема отношения из R находится во второй НФ относительно F.