Выбор; свойства выбора

Пусть теперь A – это некоторый атрибут отношения r(R) и a – элемент множества значений, которые может принимать отображение t на этом атрибуте. Выберем из отношения r те кортежи, для которых отображение t на A принимает значение a, и результат обозначим через _{A = a}(r). Это унарная операция (она применяется к одному отношению), в результате которой у нас появляется новое отношение r (R).

Определение. Выбором _{A = a}(r) называется отношение r (R) = _{A = a}(r){tr | t(A)=a}.

Пример

Пусть отношение r – расписание рейсов с атрибутами номер (№), пункт отправления (ПО), пункт назначения (ПН), время вылета (ВВ) и время прилета (ВП).

Расписание (№ ПО ПН ВВ ВП)

119	Новгород	Чита	11:30	17:30
94	Чита	Керчь	20:50	3:40
117	Баку	Орёл	21:50	23:50
216	Новгород	Москва	10:00	14:00
217	Москва	Киев	16:00	20:00

_{ПО = Новгород}(расписание) (№ ПО ПН ВВ ВП)

119	Новгород	Чита	11:30	17:30
216	Новгород	Москва	10:00	14:00

Конец примера

Пусть r и s – отношения со схемой R; A, B, C,… – конечное число атрибутов в R, пусть adom(A), bdom(B), cdom(C),… . Тогда верны следующие утверждения.

Утверждение 8.1. Операторы выбора коммутативны относительно операции композиции (т.е. результат их применения не зависит от последовательности):

_{A = a} ^ _{B = b}(r)  _{A = a}(_{B = b}(r)) = _{B = b}(_{A = a}(r))  _{B = b} ^ _{A = a}(r).

Доказательство

_{A = a}(_{B = b}(r)) = _{A = a}({tr | t(B) = b}) =

= { t{tr | t(B) = b}| t (A) = a }=

= { tr | t(A) = a, t(B) = b} =

= { tr | t(B) = b, t(A) = a} =

= { t{tr | t(A) = a}| t (B) = b }=

= _{B = b}({tr | t(A) = a}) = _{B = b}(_{A = a}(r)).

Введём следующее обозначение: _{A = a} ^ _{B = b}  _{A = a, B = b} . Положим X = (A, B, C,…), а x = (a, b, c,…), тогда оператор выбора можно обозначить _{X = x}. .

Утверждение 8.2. Операция выбора дистрибутивна относительно бинарных булевых операций:

_{A = a}(rs) = _{A = a}(r)  _{A = a}(s), где {, , – }.

Доказательство

_{A = a}(rs) = _{A = a}({t | tr, ts}) =

= {t{t | tr, ts} | t (A) = a} =

= {t | tr, t(A) = a}  {t | ts, t(A) = a} =

= _{A = a}({t | tr})  _{A = a}({t | ts}) = _{A = a}(r)  _{A = a}(s).

Аналогично доказываются равенства _{A = a}(rs)=_{A = a}(r)_{A = a}(s) и _{A = a}(rs) = = _{A = a}(r) _{A = a}(s).

Замечание. Операции выбора и активного дополнения не перестановочны (не коммутируют). Можно показать, что _{A = a}(r)  _{A = a} ( ).