Реляционная алгебра. Полнота ограниченного множества операторов

Обозначим U – множество атрибутов (универсум), D – множество доменов, dom – полная функция из U в D, R = {R₁, R₂,…, R_p} – множество схем, R_i  U, d = {r₁(R₁), r₂(R₂),…, r_p(R_p)} – множество наборов отношений,  – множество бинарных отношений над доменами из D.

Определение. Реляционная алгебра над U, D, dom, R, d,  – семиместный кортеж B=( U, D, dom, R, d, , O), где O – множество операторов объединения, пересечения, разности, активного дополнения, проекции, естественного соединения, деления, переименования, которые используют атрибуты из U, и оператор выбора, использующий операторы из .

Теорема. Для выражения E над реляционной алгеброй существует выражение E’ над ней же, которое определяет ту же функцию и использует лишь операторы (1) постоянных отношений с единственным атрибутом и единственным кортежем, (2) выбора с одним сравнением, (3) естественного соединения, (4) проекции, (5) объединения, (6) разности, (7) переименования.

Следствие. Для реляционной алгебры с операцией дополнения в формулировке предыдущей теоремы изменится пункт (6): Для выражения E над реляционной алгеброй с операцией дополнения существует … (6) дополнения, (7) переименования.

Операторы расщепления и фактора

Следующие два оператора не относятся к реляционной алгебре, так как в результате их применения из одного отношения получаются два, а для операторов реляционной алгебры результат – одно отношение.

Определение. Пусть (t) – предикат на кортежах над R, тогда расщеплением r по  называется пара отношений (s, s), каждое со схемой R, такие, что s = {tr | (t)} и s = { tr |(t)}. Обозначается эта пара SPLIT_ (r).

Пример

Рассмотрим отношение право, определённое в начале этой лекции. Пусть предикат (t) = {t(тип самолёта) = ТУ-134}  {t(тип самолёта) = ТУ-154}. Тогда SPLIT_ (право) = (s, s), где

s (пилот тип самолёта)

Иванов	ИЛ-86
Сидоров	ИЛ-86
Сидоров	ЯК-40

К

s (пилот тип самолёта)

Иванов	ТУ-134
Иванов	ТУ-154
Петров	ТУ-134
Петров	ТУ-154
Сидоров	ТУ-134
Сидоров	ТУ-154
Голубев	ТУ-154

онец примера

Определение. Пусть дано отношение r(R) и B₁, B₂,…, B_k  R, а L  R. FACTOR(r; B₁, B₂,…, B_k; L) = (s, s), где s = s((R – B₁B₂…B_k)L), s = s (B₁B₂…B_kL), причём по L возможно осуществить соединение s и s.

Действие последнего оператора рассмотрим на примере.

Пример

Р

список (отдыхающий курит храпит)

Иванов	да	да
Петров	да	нет
Сидоров	нет	нет
Борисов	да	да
Васин	нет	нет
Алексеев	нет	нет
Григорьев	нет	да

ассмотрим список отдыхающих в некотором доме отдыха.

Н

список1(метка курит храпит)

1	да	да
2	да	нет
3	нет	да
4	нет	нет

список2(отдыхающий метка)

Иванов	1
Петров	2
Сидоров	4
Борисов	1
Васин	4
Алексеев	4
Григорьев	3

ам хочется разместить отдыхающих по номерам так, чтобы курильщики жили с курильщиками, храпящие с храпящими. Но для этого нам, может быть, удобнее пользоваться не исходным списком, а более компактными. Разделим исходное отношение на два. Первое представляет собой все комбинации свойств отдыхающих, обозначенные целыми числами (метками). Во втором вместо столбцов со свойствами появился столбец с метками. Это достигается применением оператора FACTOR(список; курит, храпит; метка) = (список1, список2).

Конец примера