8. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества. Матрица отношения эквивалентности.

Отношение Р называется отношением эквивалентности, если Р рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обозначается Е и ~ (тильда).

Пусть Е – эквивалентность на множестве А. Классом эквивалентности элемента называется множество E(x)={y | xEy}. Классы эквивалентности Е также называют Е-классами. Множество называется фактор-множеством множества А по отношению к Е.

Утверждение: Множество всех классов эквивалентности образует разбиение множества А (система непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с А). Если {A_i} – некоторое разбиение множества А, то по этому разбиению можно однозначно определить эквивалентность. Т.е. xEy тогда и только тогда, когда x, y принадлежат А_i для некоторого i.

Доказательство:

Пусть Е – отношение эквивалентности на множестве А, А/Е – фактор-множество множества А по Е. Т.к. в силу рефлексивности Е выполнимо для любого , то каждое множество из А/Е непустое и . Чтобы установить, что А/Е – разбиение множества А, покажем, что если , то E(x)=E(y).

Пусть и , т.е. . Т.к. Е симметрично, то . Из транзитивности Е следует , т.е. . Таким образом, . Обратное включение доказывается аналогично.

Предположим, что Е – отношение на множестве А, соответствующее разбиению R={A_i}. Рефлексивность и симметричность Е очевидны. Пусть выполняется xEy и yEz. Тогда , где . Поскольку и , то А_i=A_j. Следовательно Е транзитивно. Е – эквивалентность.

Матрица отношения эквивалентности имеет блочно-диагональный вид. Или приводится к нему путем одновременных перестановок строк и столбцов.

9. Отношения порядка. Максимальные и минимальные, наибольший и наименьший элементы частично упорядоченного множества. Диаграммы Хассе. Линейно и вполне упорядоченные множества.

Отношение называется предпорядком или квазипорядком, если Р рефлексивно и транзитивно.

Отношение называется частичным порядком, если Р рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Т.е. частичный порядок – это антисимметричный предпорядок.

Множество, с заданным на нём частичным порядком называется частично упорядоченным множеством (ЧУМ)

Пусть <A,≤> - ЧУМ. Тогда элемент называется наибольшим, если . Элемент называется наименьшим, если . Элемент называется максимальным, если для него нет большего, т.е. , если , то . Элемент называется минимальным, если для него нет меньшего, т.е. , если , то .

Наименьший элемент всегда минимален (наибольший – максимален). Обратное неверно.

Наибольший элемент часто называют единицей. Наименьший – нулем.

Диаграммы Хассе:

Рассмотрим ЧУМ <A,≤>. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если x≤y и x≠y не существует такого элемента z, что x<z<y. Если множество А конечно, то частично упорядоченное множество <A,≤> можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если y покрывает х, то точки х и y соединяются отрезком, причем точку х располагают ниже y. Такие схемы называются диаграммами Хассе.

Частичный порядок ≤ на множестве А называется линейным порядком, если любые два элемента x и y из множества А сравнимы, т.е. x≤y или y≤x.

Линейный порядок ≤ на множестве А называется полным, если каждое непустое подмножество множества А имеет наименьший элемент. Пара <A,≤>, в которой отношение ≤ является полным порядком на множестве А, называется вполне упорядоченным множеством.