45. Карты Карно. Построение мднф с помощью карт Карно.

Карта Карно для n переменных содержит 2ⁿ ячеек, каждая из которых соответствует одной из возможных 2ⁿ комбинаций значений n логических переменных x₁,…,x_n. Карта строится в виде матрицы размера 2^n-k на 2^k так, что ее столбцы соответствуют значениям переменных x₁,…,x_k, строки – значениям переменных x_k+1,..,x_n, а соседние ячейки отличаются только значением одной переменной.

У каждой вершины n-куба есть ровно n смежных с ней вершин, т.е. вершин, отличающихся от нее только одной координатой. Поскольку в карте Карно каждая ячейка может иметь не более 4 ячеек, соседних по строке или столбцу, для представления точек, отличающихся только на одну координату, необходимо использовать и более удаленные ячейки.

Булева функция может быть представлена на карте Карно выделением 1-ячеек. Подразумевается, что необозначенные ячейки соответствуют 0-точкам.

Для построения импликант берутся всевозможные наборы 1-ячеек, образующих вершины некоторого k-куба (т.е. 2^k точек таких, что пары соседних отличаются ровно одной координатой). Совпадающие координаты образуют набор (δ₁,…,δ_n-k) и требуемая импликанта имеет вид , где x_j – переменная, соответствующая значению δ_j.

При наглядном размещении простых импликант в карте Карно удается непосредственно находить МДНФ, выбирая те простые импликанты, которые покрывают все единицы и имеют наименьшее возможное число вхождений переменных

46. Принцип двойственности. Самодвойственные функции.

Функция f⁺(x₁,…,x_n) называется двойственной по отношению к функции f(x₁,…,x_n), если . Двойственная функция получается из исходной при замене значений всех переменных, а также значений функции на противоположные.

Принцип двойственности: Если , то . Таким образом, функция, двойственная суперпозиции функций, есть соответствующая суперпозиция двойственных функций.

Функция f(x₁,…,x_n) называется самодвойственной, если f⁺(x₁,…,x_n)=f(x₁,…,x_n).

47. Теорема Жегалкина. Способы построения полиномов Жегалкина. Линейные функции.

Теорема Жегалкина: Всякая булева функция f(x₁,…,x_n) представима полиномом Жегалкина, т.е в виде , где в каждом наборе вида (i₁,…,i_k) все i_j различны, а суммирование ведется по некоторому множеству таких несовпадающих наборов. Представление функции в виде полинома Жегалкина единственно с точностью до порядка слагаемых.

Полином Жегалкина называется нелинейным (линейным) если он (не) содержит произведения переменных. Линейность булевой функции равносильна линейности соответствующего полинома Жегалкина.

Аксиомы булева кольца и равенства, выражающие операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания через операции этого кольца:

. Если в эквивалентности формулы φ и ψ являются различными конституентами 1, то их произведение равно 0.

48. Классы Поста. Полные системы булевых функций. Теорема Поста. Базисы.

Система булевых функций F={f₁,…,f_n} называется полной, если любая булева функция представима в виде терма сигнатуры (f₁,…,f_n}, т.е в виде суперпозиции функций из F.

Классы Поста:

1. P₀={f|f(0,…,0)=0} - класс булевых функций, сохраняющих ноль

2. P₁={f|f(1,…,1)=1} – класс булевых функций, сохраняющих 1

3. S={f|f⁺=f} – класс самодвойственных функций

4. M – класс монотонных функций. Булева функция f(x₁,…,x_n) называется монотонной, если для любых наборов нулей и единиц (α₁,…,α_n) и (β₁,…,β_n) из условий α_i≤β_i следует f(α₁,…,α_n)≤f(β₁,…,β_n)

5. Класс I – это класс линейных функций. Булева функций f(x₁,…,x_n) называется линейной, если в булевом кольце функция f представима в виде .

Каждый класс Поста замкнут относительно операций замены переменных и суперпозиции.

Теорема Поста: Система F булевых функций тогда и только тогда является полной, когда для каждого из классов P₀, P₁, S, M, L в системе F найдется функция, не принадлежащая этому классу..

Теорема: Каждый базис содержит не более четырех булевых функций

Доказательство: Предположим, что существует базис F, состоящий более чем из четырех функций. По теореме Поста тогда получаем, что F состоит ровно из пяти функций, каждая из которых не принадлежит ровно одному классу Поста. Пусть f – функция из F, не принадлежащая классу P₀. Тогда f(0,…,0)=1 и f(1,…,1)=1, но тогда f не принадлежит классу самодвойственных функций, а это противоречит предположения.