![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств.
- •Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений.
- •Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.
- •Множество натуральных чисел. Два подхода к определению множества натуральных чисел. Аксиомы Дедекинда-Пеано. Принцип математической индукции.
- •Понятие мощности множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Берштейна. Операции над кардинальными числами.
- •Конечные, счетные, континуальные множества. Мощность булеана.
- •Матрицы бинарных отношений и их свойства. Специальные бинарные отношения.
- •Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества. Матрица отношения эквивалентности.
- •Отношения порядка. Максимальные и минимальные, наибольший и наименьший элементы частично упорядоченного множества. Диаграммы Хассе. Линейно и вполне упорядоченные множества.
- •Алгебраические системы: определение и примеры. Понятие полугруппы, моноида, группы; задание с помощью таблицы Кэли.
- •Морфизмы алгебраических систем.
- •Подсистемы. Термы сигнатуры ∑. Подсистема, порожденная множеством, ее структура.
- •Конгруэнции, фактор-алгебры, теорема о гомоморфизме.
- •17.Многообразия. Теорема Биркгофа.
- •Решетки. Дистрибутивные решетки. Критерий дистрибутивности.
- •Булевы алгебры. Теорема Стоуна. Принцип двойственности для булевых алгебр.
- •Булево кольцо.
- •18. Алгебры отношений. Реляционные алгебры.
- •27. Виды и способы задания графов.
- •28. Подграфы и части графа. Операции над графами. N-Мерные кубы.
- •Объединение: .
- •29. Маршруты, циклы, цепи. Достижимость и связность (матрицы достижимости, контрдостижимости, связности).
- •30. Расстояние в графах. Центральные и периферийные вершины.
- •31. Взвешенное расстояние. Алгоритм Форда-Беллмана.
- •32. Степени вершин. Эйлеровы графы, циклы, цепи. Алгоритм построения эйлерова цикла.
- •33. Гамильтоновы графы. Постановка задачи коммивояжера.
- •34. Деревья, леса. Остовы графов. Цикломатическое число, коранг. Алгоритм построения остова минимального веса. Обходы графов по глубине и ширине.
- •35. Упорядоченные и бинарные деревья. Соответствия между ними.
- •36. Фундаментальные циклы, разрезы. Матрицы фундаментальных циклов, разрезов.
- •37. Раскраска графов. Планарные графы.
- •38. Формулы алгебры логики, их таблицы истинности.
- •39. Булевы функции, способы их задания. Представления булевых функций формулами.
- •40. Эквивалентность формул.
- •41. Двухэлементная булева алгебра. Алгебра булевых функций. Фактор-алгебра алгебры формул.
- •42. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Алгоритм приведения формулы к днф и кнф.
- •43. Теорема Шеннона. Теорема о функциональной полноте. Способы построения сднф и скнф.
- •44. Импликанты, простые импликанты. Сокращенные, тупиковые, минимальные нормальные формы. Алгоритм Квайна построения мднф.
- •45. Карты Карно. Построение мднф с помощью карт Карно.
- •46. Принцип двойственности. Самодвойственные функции.
- •47. Теорема Жегалкина. Способы построения полиномов Жегалкина. Линейные функции.
- •48. Классы Поста. Полные системы булевых функций. Теорема Поста. Базисы.
- •49. Логические сети. Реализация булевых функций контактными схемами и схемами из функциональных элементов.
28. Подграфы и части графа. Операции над графами. N-Мерные кубы.
Граф G’=<M’,R’>
называется подграфом
графа G=<M,R>,
если
и
.
Граф G’
называется частью
графа g,
если
и
.
Операции над графом G=<M,R>:
Добавление вершины:
Добавление дуги:
Удаление вершины:
Удаление дуги:
Отождествление вершин:
Дополнением графа без петель G=<M,r> называется граф
.
Двухместные операции над графами G1=<M1,R1>, G2=<M2,R2>:
Объединение: .
Пересечение:
, если
.
Кольцевая сумма:
.
Соединение:
Произведение:
, где
Композиция:
, где
. Т.е. каждая вершина a графа G1 заменяется на изоморфную копию Ga графа G2, а затем, если
, то между любыми вершинами b1 из Ga1 и b2 из Ga2 проводится дуга (b1,b2).
Неорграф без петель называется полным, если его любые две различные вершины смежны. Полный граф, имеющий n вершин обозначается Kn.
Определим по
индукции важный класс графов, называемых
n-мерными
кубами. Рассмотрим граф K2,
вершины которого обозначим 0 и 1. n-куб
Qn
определяется по следующим правилам:
Q1=K2,
,
n>1.
Вершинами n-куба
являются всевозможные n-ки,
состоящие из наборов нулей и единиц
(всего таких наборов 2n),
а ребра задаются по следующему правилу:
вершины смежны тогда и только тогда,
когда соответствующие кортежи различаются
ровно одной координатой.
29. Маршруты, циклы, цепи. Достижимость и связность (матрицы достижимости, контрдостижимости, связности).
Пусть G=<M,R>
- граф. Последовательность
a1,u1,a2,u2,…,un,an+1,
где
,
называется маршрутом,
соединяющим вершины a1
и an+1,
если ui=(ai,ai+1).
Число n
дуг в маршруте называется его длиной.
Пусть G – неорграф. Маршрут (a1,an+1) называется цепью, если все ребра [a1,a2],…,[an,an+1] различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, первой и последней, различны. Маршрут называется циклическим, если a1=an+1. Циклическая цепь называется циклом, а циклическая простая цепь – простым циклом.
Пусть G – орграф. Маршрут называется путем, если все его дуги различны. Путь называется контуром, если a1=an+1. Граф, не имеющий контура, называется бесконтурным. Вершина b называется достижимой из вершины a, если существует (a,b) – путь.
Неорграф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Граф G называется связным, если соответствующий ему неорграф F(G) тоже является связным. Граф G называется сильно связным, если для каждой пары различных вершин a и b существуют (a,b)-маршрут и (b,a)-маршрут. Аналогично определяются понятия связности и сильной связности для мультиграфов.
Всякий максимальный по включению (сильно) связный подграф данного графа называется его (сильной) связной компонентой или (сильной) компонентой связности.
Теорема: Любой граф представляется в виде объединения непересекающихся связных (сильных) компонент. Разложение графа на связные (сильные) компоненты определяется однозначно.
Теорема:
Если AG
– матрица смежности графа G,
то (i,j)-й
элемент матрицы
есть число (ai,aj)-маршрутов
длины k.
Следствие:
1) В графе G
мощности n
тогда и только тогда существует
(ai,aj)-маршрут
(ai≠aj),
когда (i,j)-й
элемент матрицы
не равен нулю.
2) В графе G
мощности n
тогда и только тогда существует цикл,
содержащей вершину ai,
когда (i,i)-й
элемент матрицы
не равен нулю.
Образуем из матрицы
(bij)=E+AG+AG2+…+AGn-1
матрицу C=(cij)
порядка n
по следующему правилу:
.
Матрица С называется матрицей
связности,
если G
– неорграф, и матрицей
достижимости,
если G-орграф.
Определим матрицу
контрдостижимости
Q=(qij):
.
Причем Q=CT.
Рассмотрим матрицу сильных компонент S=C*Q, где операция * означает поэлементное произведение матриц С и Q: sij=cij•qij. Таким образом, матрица S является матрицей отношения эквивалентности E: выполнимо aiEaj тогда и только тогда, когда ai и aj находятся в одной сильной компоненте.