12. Средняя квадратическая погрешность функций измеренных величин. Средняя кваратическая погрешность арифметической середины.

Средняя квадратическая погрешность функции z=f(x,y,….t) измеренных величин (косвенных измерений) равна

m_z² = m_x² + m_y² +…..+ m_t².

Следовательно, для оценки точности функции измеренных величин, необходимо написать вид функции, найти частные производные и подставить их в (

Пример 4. Вычислить горизонтальное проложение линии и её среднюю квадратическую погрешность, если длина линии, измеренная рулеткой, равна D=100,00 м, m_D =0,10 м, угол наклона линии равен ν=30º 00,0´, m_ν =1′; ρ´=3438´.

Функция имеет вид d= D Cos ν. Формула (3.13) для данной функции примет вид

m_d² = m_D² + m²_ν/ρ² (3.14)

или m_d² = Cos²ν m_D² + D² Sin²ν m_ν²/ρ². (3.15)

Подставив сюда значения параметров, получим m_d=0,10 м.

Примечание. При вычислении средних квадратических погрешностей функций, в которые входят тригонометрические функции, среднюю квадратическую погрешность угла необходимо разделить на значение числа градусов (минут, секунд) в радиане, в зависимости от размерности погрешности угла, т.е. привести погрешность угла к безразмерному виду.

Арифметическая средина есть функция измеренных величин. Она имеет вид

L_○ =[ L_i ]/n (3.16)

или L_○= l₁ / n+ l₂ / n + + l _n / n, (3.17)

а, следовательно, в соответствии с (3.13) имеем

M² _L○ = m²_l1/ n² + m²_l2/ n² + m²_l3/ n² +…..+ m²_{l n} / n²

или M _L○ = m/√n.

13. Понятия о неравноточных измерениях

К неравноточным измерениям относятся результаты измерения одной и той же величины, выполненные приборами различной точности; различным числом приемов, приборами разной точности, в различных условиях измерений и т.д. То есть к неравноточным измерениям относятся те, результаты которых имеют разные средние квадратические погрешности.

Как вычислить арифметическую средину при неравноточных измерениях?

Пусть имеем результаты неравноточных измерений одной и той же величины l_1, l_2, l_3, l_n и их средние квадратические погрешности m_l1, m_l2,.. m_ln. Вычислить среднее арифметическое из этого ряда измерений.

Для решения задачи сначала вычисляем веса

p₁ = µ/m _l1², p₂ = µ/m_l2², p₃ = µ/m_l3², …… p_n = µ/m_ln², (3.21)

а затем находим значение общей арифметической средины по формуле

L_ср = (p₁ l₁ + p₂ l₂ + p₃ l₃ +……+ p_n l_n )/ [p],

или L_ср = [p_il_i]/ [p]. (3.22)

Пример7. Один и тот же угол измерен теодолитом 2Т30П

(β₁=35º 15,5′) и Т5 ( β₂ =35º 15,1′). Вычислить среднее значение угла.

Так как приборы имеют различную точность, то необходимо сначала установить веса результатов измерений. Очевидно, что Р_β1=µ/m_β1², а Р_β2=µ/m_β2 ². Примем µ = 100, тогда Р_β1 = 0,11 и Р_β2 = 4. В соответствии с (3.22) получим

β₀= 35º 15,0′ + ((0,5*0,11+0,1*4)/4,11)= 35º 15,1′.

Как видим из примера, измерение угла теодолитом 2Т30П ни как не оказало влияние на среднее значение угла, то есть было бесполезным. В тоже время, если не учитывать веса измеренных углов, то среднее значение угла будет равно β = 35º 15,3′. Различие существенное.

В качестве константы µ целесообразнее принимать не обезличенное число, а квадрат средней квадратической погрешности одного из результатов измерений. В рассматриваемом примере в качестве µ можно принять m_β1 или m_β2. В этом случае µ есть средняя квадратическая погрешность единицы веса.

Как оценить точность арифметической средины из неравноточных измерений?

Очевидно, что как и при обработке ряда равноточных измерений, точность арифметической средины выше, чем точность любого отдельно взятого результата, входящего в вычисления. Она равна

M_l0 = µ / √[p]. (3.23)

В выше разобранном примере 7 примем в качестве µ значение квадрата средней квадратической погрешности, т.е. µ = m_β1². Тогда Р_β1= 1, а Р_β2 = 36. В этом случае [p] = 37. Подставив в (3.23), имеем M_β0 = 4,9″.

Такой же результат получим и при других значениях µ. Например, в качестве µ примем m_β2 = 5″. Получим M_β0 = 5″/√1,0277 = 4,9″.