16.Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты-Биения.
К
олеблющееся
тело может участвовать в нескольких
колебательных процессах, тогда необходимо
найти результирующее колебание, иными
словами, колебания необходимо сложить.
Сложим гармонические колебания одного
направления и одинаковой частоты:
Т
аким
образом, тело, участвуя в двух гармонических
колебаниях одного направления и
одинаковой частоты, совершает также
гармоническое колебание в том же
направлении и с той же частотой, что и
складываемые колебания.
А
мплитуда
результирующего колебания зависит от
разности фаз (φ2-φ1) складываемых колебаний.
Б
иения
- периодические изменения амплитуды
колебания, возникающие при сложении
двух гармонических колебаний с близкими
частотами. (∆ω<<ω)
x
1+x2=A(cos
ωt
+ cos(ω+∆ω)t)
= 2A
cos((ω+
∆ω-ω)/2)t
* cos
((ω+∆ω+ω)/2)t
=
17. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.
Р
ассмотрим
результат сложения двух гармонических
колебаний одинаковой частоты w,
происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях вдоль осей х и у. Для
простоты начало отсчета выберем так,
чтобы начальная фаза первого колебания
была равна нулю (1):
А и В — амплитуды складываемых колебаний.
У
равнение
траектории результирующего колебания
находится исключением из выражений (1)
параметра t. Записывая складываемые
колебания в виде:
x/A=cosωt; y/B= cos(ωt+∆φ)= cosωt cos∆φ – sinωt sinφ
И заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinwt на √1-(х/A),
получим после преобразований уравнение эллипса:
Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз.
а
)
∆φ=0;
у=(В/А)х б)
∆φ=0;
у= - (В/А)х г)
∆φ=
±π/2, тогда
уравнение примет вид:
(г)
(
г),
если А=В, то эллипс вырождается в
окружность.
Такие колебания называются колебаниями,
поляризованными по кругу.
Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху).
Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.
18.Динамика гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники.
1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — коэффициент упругости, в случае пружины называемый жесткостью. Уравнение движения маятника F=-kx, F=ma, ma=-kx; -kx = m(d²x/dt²); d²x/dt² + kx/m = 0
И
з
этого следует, что пружинный маятник
совершает гармонические колебания по
закону х=Acos(w0t+φ0)
с циклической частотой
и
периодом
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Е= kх²/2
2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.
Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол а, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать в виде: М = Jε = -mgl sinα = J(d²α/dt²), α – малый угол, sinα ≈ α
(d²α/dt²) + mgl α /J = 0, ω0 = √mgl/J, Т = 2π/ω0 = 2π√J/mgl = 2π√L/g
3. Математический маятник — это система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.
Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.
Момент инерции математического маятника J=ml², где l — длина маятника.
Т
ак
как математический маятник можно
представить как частный случай физического
маятника, предположив, что вся его масса
сосредоточена в одной точке — центре
масс, то, подставив выражение J=ml²
в формулу Т
= 2π√J/mgl,
получим выражение для периода малых
колебаний математического маятника
T=2π√l/g
Д
ифференциальное
уравнение гармонических колебаний.
где s =A cos (w0 t +j) s =A cos (w0 t +j),
где А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания,
w0 - круговая (циклическая) частота, j - начальная фаза колебания в момент времени t=0,
(w0 t +j) - фаза колебания в момент времени t.