Определение ди для частного коэффициента корреляции

Например, при нахождении границ доверительного интервала для :

• выполняется прямое преобразование Фишера:

;

• определяется квантиль , исходя из условия ;

• вычисляются значения и ;

• с помощью обратного преобразования Фишера находятся границы искомого ДИ:

и .

Регрессионный анализ

- математико-статистический метод исследования зависимости одной случайной величины (критериальной переменной) от конечного числа независимых случайных или неслучайных переменных (предикторов, регрессоров).

Замечание

Термин «зависимость» понимается здесь как «математическая зависимость», которой в определенном смысле наилучшим образом отвечают имеющиеся статистические данные, и не означает в общем случае наличие причинно-следственных связей между наблюдаемыми переменными.

В математической статистике понятия «корреляция» и «регрессия» неотделимы от понятия «стохастическая зависимость», вместе с тем они имеют четкое различие, отраженное в целях соответствующих исследований: собственно корреляционный анализ ориентирован на обнаружение корреляционной зависимости между рассматриваемыми признаками и оценку тесноты их связи, тогда как регрессионный анализ предполагает выявление и исследование формы зависимости критериальной переменной от предикторов.

Задачи регрессионного анализа

• Выбор предикторов, оказывающих статистически значимое влияние на критериальную переменную.

• Установление вида модели регрессии в соответствии с сущностью постигаемого явления.

• Оценка параметров регрессионной модели, статистическая проверка их значимости.

• Оценка статистической надежности уравнения регрессии.

• Оценка адекватности и точности регрессионной модели.

Аддитивная модель регрессии

При описании исследуемой зависимости с помощью математической символики она обычно представляется как уравнение вида , где

– - выражение функциональной зависимости значения y критериальной переменной Y от возможных значений x₁, x₂,…, x_k предикторов X₁, X₂,…, X_k,

– ε - остаточная компонента (возмущение), численно характеризующая суммарное влияние совокупности всех случайных факторов на значение переменной Y.

На основании имеющихся данных наблюдений над значениями переменных X₁, X₂,…, X_k, Y в определенном классе многомерных функций подбирается такая функция , при которой остаточная компонента ε будет минимальной по некоторой статистической мере, т.е. находится аналитическое выражение, наиболее полно в рамках применяемой модели и выбранного критерия оптимальности отражающее математическую зависимость переменной Y от переменных X₁, X₂,…, X_k.

Множественная линейная модель регрессии

y=β0+β1x1+β2x2+…+βjxj+…+βkxk+ε.

(1)

Исходным статистическим материалом при регрессионном анализе служит выборка объема n из (k+1)-мерной генеральной совокупности реализаций случайного вектора (Y, X₁, X₂,…, X_k).

Каждое из n осуществленных наблюдений над значениями указанных переменных характеризуется определенной числовой последовательностью вида:

(y_i, x_i1, x_i2,…, x_ij,…, x_ik),

в которой

y_i – значение переменной Y в i-ом наблюдении,

x_ij - значение переменной X_j в i-ом наблюдении.

Таким образом, при построении регрессионной модели используется n(k+1) выборочных значений:

.

Согласно модельному уравнению (1) данные значения связаны между собой следующими соотношениями:

(2)

здесь - вклад остаточной компоненты ε в значение для i-го наблюдения.

При выполнении дальнейших выкладок удобны матричные представления соответствующих систем равенств, обладающие компактностью записи и наглядностью результатов совершаемых математических операций.

В матричной форме система уравнений (2) приобретает вид

(3)

или

,

(4)

где - вектор-столбец размерности n, сформированный из фактических значений критериальной переменной Y;

X - матрица размерности [nx(k+1)], содержащая выборочные значения предикторов. Элементы данной матрицы по изложенным выше причинам рассматриваются как неслучайные величины;

- вектор-столбец размерности k+1 неизвестных параметров модели (коэффициентов регрессии);

- вектор-столбец так называемых остатков для произведенных n наблюдений:

; ; ; .

Для нахождения параметров регрессионной модели обычно используется метод наименьших квадратов (МНК), позволяющий получить несмещенные оценки параметров при следующих условиях Гаусса - Маркова.