Замечание

Из приведенного выражения для видно, что ρ² указывает долю дисперсии величины Y, обусловленную влиянием величины X:

.

По мере приближения к единице значение стремится к нулю, что свидетельствует о меньшем рассеянии значений Y относительно соответствующей линии регрессии и о более тесной связи между переменными X, Y.

Точечные оценки параметров двумерного распределения

Характеристики распределения случайного вектора (X,Y)
теоретические	оценки по выборке
μx, μy	,
σx, σy	,
коэффициент корреляции ρ	выборочный коэффициент корреляции
	выборочный коэффициент регрессии Y на X

Выборочное уравнение линейной парной регрессии

.

Проверка основной гипотезы корреляционного анализа

Отличие найденного по имеющимся данным значения выборочного коэффициента корреляции r от нуля еще не означает, что коэффициент корреляции ρ также не равен нулю, т.е. что имеет место корреляционная зависимость между признаками X, Y. В связи с этим проверяется гипотеза об отсутствии такой зависимости:

H₀: ρ=0.

Статистика применяемого критерия:

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным ν=n-2.

При уровне значимости α гипотеза H₀ отвергается, если |t|>t_кр, где t_кр удовлетворяет уравнению

.

Если в результате проверки гипотеза H₀ будет отвергнута, то полагают, что при данном уровне значимости коэффициент корреляции ρ значимо (существенно) отличается от нуля.

Интервальная оценка коэффициента корреляции

• с помощью таблицы 6 выполняется z-преобразование Фишера выборочного коэффициента корреляции r:

;

• находится квантиль t_γ, исходя из условия Ф(t_γ)=γ;

• с помощью таблицы 6 производится обратное преобразование Фишера значений ; и находятся границы ДИ:

.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии

,

где t_α - корень уравнения .

Трехмерная модель корреляции

Предполагается, что совместное распределение анализируемых случайных переменных (признаков) X, Y, Z подчинено трехмерному нормальному закону.

Задачи трехмерного корреляционного анализа

• Оценка тесноты связи между произвольными двумя переменными, включенными в анализ, при фиксировании или исключении влияния третьей переменной.

• Оценка тесноты связи каждой из рассматриваемых переменных с совокупностью остальных переменных.

• Проверка значимости коэффициентов связи.

• Интервальное оценивание коэффициентов связи.

• Построение корреляционной модели и оценка её параметров.

Корреляционная матрица

• Начальный этап трехмерного корреляционного анализа количественных признаков состоит в оценке на основе выборочных данных матрицы

,

элементы которой есть парные коэффициенты корреляции исходных переменных.

Выборочная корреляционная матрица

В качестве статистического аналога матрицы принимается матрица

,

здесь , , - выборочные парные коэффициенты корреляции.

Свойство корреляционных матриц

Матрицы Q₃, q₃ симметричны относительно главной диагонали.

Частные коэффициенты корреляции

; ; .

Любой частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции, т.к. является коэффициентом корреляции для соответствующего условного двумерного распределения.

Замечание.

В отличие от парного коэффициента корреляции, на величине которого сказывается не только влияние пары переменных друг на друга, но и воздействие третьей переменной, частный коэффициент корреляции позволяет характеризовать тесноту связи между двумя рассматриваемыми признаками в «чистом» виде, исключая влияние других переменных при анализе зависимости.