2.7 Дробно-линейное программирование
Общая задача дробно-линейного программирования формулируется в виде:
где d1х1 + d2х2 > 0.
Задача решается в следующей последовательности:
1. В ограничивающих уравнениях заменяют знаки неравенств на знаки точных равенств и строят определяемые этими равенствами прямые.
2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из неравенств системы ограничений задачи.
3. Находят область (многоугольник) допустимых решений задачи.
4. Строят прямую
уравнение которой получается, если положить значение целевой функции равным некоторому постоянному числу.
5. Определяют точку максимума или устанавливают неразрешимость задачи.
6. Находят значение целевой функции в точке максимума.
Пример. Пусть для производства двух видов изделий а и в используются три типа технологического оборудования. Известны затраты времени и других ресурсов на производство единицы изделия каждого вида (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Требуется определить, сколько изделий каждого вида необходимо изготовить, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной.
Решение.
Решение задачи определяется из области допустимых вариантов (рис. 2.1).
Область допустимых вариантов решения представляется треугольником bcd. Значит, целевая функция принимает значение в одной из точек: b, c или D. Чтобы определить, в какой именно из этих точек, положим значение функции l равным некоторому числу, например 11/4:
Рис. 2.1
Это уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат. Координаты точек этой прямой, принадлежащие и многоугольнику решений, являются планами задачи, при которых значение целевой функции равно 11/4. В данном случае к указанным точкам относится только одна точка B (1; 3).
Теперь положим, что
Это уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат. Если положить значение целевой функции равным некоторому числу L0
а прямую, проходящую через начало координат, вращать в направлении часовой стрелки вокруг начала координат, то получим прямые
Последней общей точкой вращаемой прямой с областью допустимых вариантов решения будет точка D(3,1), в которой достигается минимум целевой функции. Таким образом, оптимальный план заключается в производстве трех изделий А и одного изделия В, обеспечивающем минимальную себестоимость одного изделия, равного.
Задача дробно-линейного программирования при n› 2 может быть решена сведением ее к задаче линейного программирования. Для этого следует обозначить через
и ввести новые переменные уj = у0хj, (j = 1… n).
Тогда исходная задача сведется к следующей:
Это задача линейного программирования, и, следовательно, ее решение можно найти известными методами.
Пример. Определить решение следующей оптимизационной задачи:
Здесь х3, х4, х5 – фиктивные переменные, преобразующие неравенства в равенства.
Решение. Обозначим у0 = (х1 + х2)-1 и вводим новые переменные у0 = (х1 + х2)-1. Получим задачу линейного программирования:
Ее оптимальный план:
у10 = 0,9; у30 = 0,1;
у30= у40 = 0;
у50 = 1,5; у00= 0,1.
Так как уj = у0хj, то оптимальный план исходной задачи:
