39. Нормальні форми зображення булевих функцій.

Система булевих функцій V називається функціонально повною, якщо для будь-якого булевого виразу знайдеться булевий вираз, який дорівнює даному, і містить лише функції з V. Іншими словами, система булевих функцій називається функціонально повною, якщо будь-яку булеву функцію можна виразити за допомогою функцій, які входять до складу цієї системи. Відомо досить багато функціонально повних систем булевих функцій. Фундаментальна теорема Поста, яка вивчається в курсі дискретної математики, встановлює необхідні і достатні умови функціональної повноти. Найбільш відомою і вживаною функціонально повною системою є система, що складається з трьох функцій: кон'юнкції, диз'юнкції та заперечення. Особливе місце цього набору пов'язано з тим, що існує простий стандартний алгоритм вираження будь-якої булевої функції за допомогою цих трьох функцій; алгоритм полягає у побудові на основі таблиці істинності досконалої диз'юнктивної нормальної форми. Можна навести інші приклади функціонально повних систем, такі як: * кон'юнкція та заперечення; * диз'юнкція та заперечення; * тотожний нуль, тотожна одиниця, кон'юнкція, додавання за модулем 2; * імплікація та тотожний нуль. Існують функціонально повні набори, кожний з яких містить єдину функцію. Такими функціями є штрих Шефера та стрілка Пірса. Вираження довільного булевого виразу через кон'юнкцію, диз'юнкцію та заперечення Cистема булевих функцій, яка містить кон'юнкцію, диз'юнкцію та заперечення, є функціонально повною, і існує загальновживаний (хоч і не завжди оптимальний з точки зору часу виконання) алгоритм представлення будь-якого булевого виразу через ці функції. Алгоритм складається з двох частин: * побудова таблиці істинності для заданого виразу; * побудова за таблицею істинності досконалої диз'юнктивної нормальної форми.

44, 45. Досконалі диз’юнктивні нормальні форми (дднф), Досконалі кон’юнктиві нормальні форми (дкнф).

Елементарною кон'юнкцією називається кон'юнкція булевих змінних, кожна з яких може стояти під знаком заперечення. Булевий вираз записаний у диз'юнктивній нормальній формі, якщо він являє собою диз'юнкцію елементарних кон'юнкцій. Диз'юнктивна нормальна форма від n змінних називається досконалою, якщо кожна елементарна кон'юнкція містить всі змінні, можливо з запереченням. Зазначимо, що крім диз'юнктивних нормальних форм, широко застосовуються нормальні форми іншого типу - кон'юнктивні. Нарешті розглянемо метод побудови ДДНФ за таблицею істинності. Оскільки ДДНФ, що будується, є булевим виразом, який відповідає заданій таблиці істинності, він повинен приймати значення 1 при тих і тільки тих наборах значень аргументів, при яких у таблиці істинності стоїть 1. Нехай заданий деякий набір значень: змінні x1, …, xn приймають значення відповідно s1, …, sn. Елементарна кон'юнкція, яка залежить від змінних x1, …, xn, при даних значеннях аргументів може дорівнювати 1 в одному і тільки одному випадку: якщо аргументи, що дорівнюють 0, входять до неї під знаком заперечення, а ті, що дорівнюють 1 - без знака заперечення. Іншими словами, єдина елементарна кон'юнкція, яка при x1= s1, … , xn= sn дорівнює 1, має вигляд y1…yn, де yi= ¬xi при si= 1 і yi= xi при si= 0. Далі, оскільки таблиця істинності дорівнює 1 при декількох наборах значень аргументів, вона повинна являти собою диз'юнкцію усіх відповідних елементарних кон'юнкцій. Приклад. Побудуємо ДДНФ за такою таблицею істинності: x y z f(x, y, z) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 До ДДНФ повинно увійти чотири елементарні кон'юнкції, які відповідають наборам, при яких функція приймає значення 1 (вони обведені рамками). Відповідно до цього ДДНФ матиме вигляд ¬xy¬z۷¬xyz۷x¬y¬z۷xyz