7. Дайте визначення підмножини. Чим відрізняється поняття включення ( або ) від поняття приналежності ( ).

Якщо X та Y — множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:

X є підмножиною (частиною) Y, позначення — X ⊆ Y;

Y — над множина (охоплююча множина) X, позначення — Y ⊇ X.

Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не збігається з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X — точна підмножина Y, то цей факт записується як X ⊂ Y. Відношення «бути підмножиною» має назву включення.

8. Алгебра множин. Основні властивості операцій над множинами. Принцип двоїстості.

Алгебра множин — розділ теорії множин, який визначає закони композиції множин, виходячи з основних властивостей операцій над ними, а також пропонує певну систематичну процедуру для обчислення теоретико-множинних рівнянь та співвідношень.[Джерело?]

З точки зору абстрактної алгебри алгебра множин — це кільце K підмножин множини R, що містить R.

Властивості операцій на множинах

Бінарні операції об'єднання та перетину множин, задовольняють певним фундаментальним алгебраїчним властивостям. Далі вони наводяться без доведення.

ТВЕРДЖЕННЯ 1: Для будь-яких множин A, B, та C, виконуються такі співвідношення:

комутативність:

A ∪B = B ∪A

A ∩B = B ∩A

асоціативність:

(A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C)

(A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C)

дистрибутивність операції перетину відносно об'єднання:

A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)

A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)

Як можна спостерігати з наведених співвідношень, з точки зору основних властивостей можна провести певну аналогію між операцією об'єднання множин та операцією множення чисел, операцією перетину множин та операцією додавання чисел. Ця аналогія розвивається в наступному твердженні:

ТВЕРДЖЕННЯ 2: Для будь-якої підмножини A універсальної множини U, справедливі наступні співвідношення:

властивості нуля

A ∪Ø = A

A ∩CA = Ø

властивості одиниці

A ∩U = A

A ∪СA = U

Тут елементи Ø та U є нейтральними елементами відносно операцій ∪ та ∩ відповідно, тобто такими, що не впливають на результат операції, аналогічно тому, як в звичайній алгебрі дійсних чисел такими елементами на операціях множення та складання є 1 та 0 відповідно. Але, на відміну від звичайного множення та складання, в алгебрі операцій перетину та об'єднання множин не існує зворотнього елементу.

Наведені закони складають основу алгебри множин. Всі інші співвідношення можуть бути виведені з них безпосередньо.

Принцип дуальності

Наведені вище співвідношення демонструють цікаву закономірність. Якщо в якомусь з законів провести заміни ∪ на ∩, а також Ø на U, то він залишиться справедливим. Це фундаментальна властивість алгебри множин, яка має назву принципа дуальності.

9. Метод доведення в алгебрі множин з застосуванням теореми о рівності множин (використання двостороннього включення).

ТВЕРДЖЕННЯ 3: Для будь-яких підмножин A та B універсальної множини U, справедливі наступні твердження:

ідемпотентність:

A ∪A = A

A ∩A = A

домінування:

A ∪U = U

A ∩Ø = Ø

поглинання:

A ∪(A ∩B) = A

A ∩(A ∪B) = A