26.Графи.Основні поняття і означення.
Граф G визначається двома множинами - множиною вершин V та множиною ребер або дуг (пар вершин) E: G=(V, E). Якщо пара вершин неупорядкована, то її прийнято називати ребром, а якщо упорядкована - дугою. Граф, що складається тільки з ребер називається неорієнтованим графом. Граф, що містить тільки дуги, - орієнтованим графом чи орграфом.
На малюнку граф можна представити точками, що відповідають вершинам графа, та лініями, що з'єднують вершини і відповідають ребрам графа, або спрямованими від вершини до вершини лініями, що відповідають дугам графа.
<="" p="">
Дві вершини x та y, що з'єднані ребром (x, y), називають суміжними вершинами. Якщо вершини з'єднані дугою (x, y), то вершина x суміжна вершині y, а зворотної суміжності немає.
Два ребра називають суміжними ребрами, якщо вони мають спільну вершину.
Ребро і будь-яка з двох його вершин називаються інцидентними.
Будь-якому ребру чи вершині може бути привласнена вага (вартість) чи інша мітка. Вага вершини - число, що характеризує вершину, вага ребра - число, що характеризує відношення між двома вершинами. Наприклад, для графа автомобільних доріг вага ребра може означати довжину дороги від одного перехрестя до іншого.
Способи подання графа. Приклади.
Граф G =(V,E ) зручно зображати за допомогою рисунка на площині, який називають діаграмою графа G. Вершинам графа G ставляться у бієктивну відповідність точки площини; точки, що відповідають вершинам v i w, з'єднуються лінією (відрізком або кривою) тоді і тільки тоді, коли v i w суміжні вершини. Зрозуміло, що діаграма графа змінюватиме свій вигляд у залежності від вибору відповідних точок на площині.
Графи можна задавати також за допомогою матриць.
Занумеруємо всі вершини графа G натуральними числами від 1 до n. Матрицею суміжності A графа G називається квадратна n*n-матриця, в якій елемент aij і-го рядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершини vi та vj з номерами i та j суміжні, і дорівнює 0 у противному разі.
Очевидно, що матриці суміжності неорієнтовних графів симетричні.
Занумеруємо всі вершини графа G числами від 1 до n і всі його ребра числами від 1 до m. Матрицею інцидентності B графа G називається n*m-матриця, в якій елемент bij і-го рядка і j-го стовпчика дорівнює 1, якщо вершина vi з номером i інцидентна ребру ej з номером j, і дорівнює 0 у противному разі.
Різновиди графів.Приклади.
Орієнтовним графом (орграфом) D називається пара множин D=(V,E) де
E c V*V
Неорієнтовним …
G=(V,E)
де E
c
(v,w) – дуга
V –початок дуги
W – кінець дуги
(v,v) - петля
Частина графа, суграф, підграф. Приклади.
Операції над графами.
Дерева. Приклади.
Граф G називають деревом, якщо він є зв’язним і не має циклів, а граф G, усі компоненти зв’язності якого є деревами – лісом.
Ізоморфізм графів. Приклади.
Маршрут. Зв’язність графів. Компоненти зв’язності.
Маршрутом (шляхом) у графі G називається послідовність ребер та інцидент них ним вершин, що складають неперервну криву.
Довжиною маршруту називають кількість ребер в ньому, при чому кожне ребро в ньому вказується стільки разів, скільки воно зустрічається в маршруті.
Маршрутом довжини 0 називається маршрут, що складається з єдиної вершини.
Маршрути: відкритий; замкнений, якщо він починається і закінчується в одній і тій самій вершині.
Маршрут всі ребра якого різні називається ланцюгом.
Граф G називається зв’язним, якщо кожні дві його вершини зв’язні між собою.
Максимальний не пустий зв’язний підграф G’ графа G називають компонентою зв’язності.
Ейлерові графи. Теорема Ейлера.
Цикл, який містить усі ребра графа називається Ейлеровим.
Зв’язний граф G, що мітить Ейлерів цикл називається Ейлеровим графом.
Зв’язний граф G є Ейлеровим тоді коли степені всіх його вершин є парними.
Не тривіальний граф G має цикл тільки тоді коли він має тільки дві вершини непарного степеня.
Гамільтонові графи. Приклади.
Простий цикл, який проходить через усі вершини графа називають Гамільтоновим циклом.
Граф G називається Гамільтоновим, якщо він містить Гамільтонів цикл.
Кодування дерев (код Прюфера).
Методи побудови екстремальних дерев. Алгоритм Краскала та Прима (самостійно).
Алгоритм Крускала — алгоритм побудови мінімального кістякового дерева зваженого неорієнтовного графа. Алгоритм було вперше описано Джозефом Крускалом 1956 року.
Візьмемо зважений зв'язний граф G=(V,E), де V — множина вершин, E — множина ребер, для кожного з яких задано вагу. Тоді ациклічна множина ребер, що поєднують усі вершини графа і чия загальна вага мінімальна, називається мінімальним каркасним (або кістяковим) деревом.
Алгоритм Крускала починається з побудови виродженого лісу, що містить V дерев, кожне з яких складається з однієї вершини. Далі виконуються операції об'єднання двох дерев, для чого використовуються найкоротші можливі ребра, поки не утвориться єдине дерево. Це дерево і буде мінімальним кістяковим деревом.
Алгоритм Прима - алгоритм побудови мінімального кістякового дерева. Це жадібний алгоритм.
Спочатку ребра сортують за зростанням ваги.
Додають найменше ребро в дерево.
Зі списку ребер із найменшою вагою вибирають таке нове ребро, щоб одна з його вершин належала дереву, а інша — ні.
Це ребро додають у дерево і знову переходять до кроку 3.
Робота закінчується, коли всі вершини будуть у дереві.