- •Питання до іспиту
- •Множини. Основні поняття та означення.
- •Способи задання множин.
- •Скінченні та нескінченні множини. Зчисленні та незчисленні множини. Теорема Кантора
- •Круги Ейлера-Венна. Операції над множинами. Навести приклади.
- •Універсальна множина, порожня множина. Привести приклади універсуму і порожньої множини.
- •Порожня множина. Обґрунтуйте необхідність використання порожньої множини. Чи завжди будь-яка множина містить у собі порожню множину?
- •Дайте визначення підмножини. Чим відрізняється поняття включення ( або ) від поняття приналежності ( ).
- •Алгебра множин. Основні властивості операцій над множинами. Принцип двоїстості.
- •Метод доведення в алгебрі множин з застосуванням теореми о рівності множин (використання двостороннього включення).
- •Метод доведення в алгебрі множин з застосуванням основних властивостей операцій над множинами.
- •Декартовий добуток множин. Приклади.
- •Бінарні відношення на множинах. Основні поняття та означення.
- •Представлення відношення за допомогою матриці і графа. Приклади.
- •16. Функціональне бінарне відношення
- •17.Властивості бінарних відношень.
- •18.Відображення .Типи відображень.
- •19. Відно́шення еквівале́нтності .Класи еквівалентності.
- •20. Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне
- •21.Елементарна комбінаторика.Правила суми та правило добутку.
- •22.Сполуки без повторень.
- •26.Графи.Основні поняття і означення.
- •Способи подання графа. Приклади.
- •Поняття логіки висловлень, операції над висловленнями. Таблиці істинності. Логічні формули.
- •Формули алгебри логіки.
- •Реалізація функцій формулами. Рівносильність формул
- •Основні тотожності алгебри логіки. Принцип двоїстості. Правила де Моргана для висловлень.
- •Булеві змінні. Булеві функції. Основні поняття. Способи задання булевих функцій.
- •Нормальні форми зображення булевих функцій.
- •44, 45. Досконалі диз’юнктивні нормальні форми (дднф), Досконалі кон’юнктиві нормальні форми (дкнф).
- •Методи мінімізації булевих функцій: карти та куб Карно, метод Квайн-Мак-Класкі, метод Борецького-Блейка.
- •Мінімізація булевих функцій. Логічні елементи. Логічні схеми
18.Відображення .Типи відображень.
Всюди визначена функціональна відповідність fAB називається відображенням A в B і записується як і функція f:AB або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.
Відображення типу A A називають перетвореннями множини A.
Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.
Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента aPr1fпозначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента bPr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.
Нехай f:AB функція з множини A в множину B, а g:BC - функція з множини B в множину C.Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається fg, називається функція h:AC така, що h(a) =g(f(a)) для aPr1fA і f(a)Pr1gB.
Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.
Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента bPr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.
Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивнимвідображенням або бієкцією.
Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.
19. Відно́шення еквівале́нтності .Класи еквівалентності.
Відно́шення еквівале́нтності в математиці — бінарне відношення, яке є рефлексивне, симетричне та транзитивне.
Формально, для деякого бінарного відношення R⊆M:
aRa для всіх a∈M (рефлексивність)
Якщо aRb, то bRa для a,b∈M (симетричність)
Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c∈M (транзитивність)
[ред.]Приклади
Відношення рівності на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності.
Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.
Відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або конгруентність за модулем k, яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k∈N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a ≡ b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ≡ 22(mod 5), 1221 ≡ 6 (mod 5), 42 ≡ 57 (mod 5).
Сукупність множин {Bi|i∈I} називається розбиттям множини A, якщо Bi=A і Bi∩Bj = ∅ для i≠j. Множини Bi, i∈I є підмножинамимножини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a∈A належить одній і тільки одній множині Bi, i∈I.
20. Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне
.
І навпаки, відношення строгого порядку є антирефлексивним
.