![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Комплексные числа
- •2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- •3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •4. Комплексной функции комплексного переменного
- •5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- •6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- •7. Предел комплексных функций
- •8.Непрерывность комплексных функций
- •9. Моногенность комплексных функций
- •10. Производная
- •11. Аналитические функции
- •12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •13. Конформные отображения
- •14. Линейная функция
- •15. Степенная функция с натуральным показателем
- •16. Показательная функция
- •17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- •18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- •19. Гиперболические функции комплексного переменного
- •20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- •21. Обратные тригонометрические функции
- •22. Интегрирование комплексных функций
- •Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- •23. Теорема Коши для односвязной области
- •24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- •25. Теорема Коши для многосвязной области
- •26. Формула Коши
- •27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- •30. Числовые комплексные ряды
- •31. Функциональные комплексные ряды
- •32. Степенные комплексные ряды
- •33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора
10. Производная
Определение 3.3.
Производной
комплексной функции
в точке
называется
предел отношения приращения функции
приращению
независимой переменной
,
когда
,
т.е.
. (3.10)
Как мы видим, определение производной комплексной функции по форме совпадает с определением производной действительной функции действительного переменного.
Имеет место также следующая теорема.
Теорема З.4.
Если комплексная функция моногенна в точке , то она имеет производную в этой точке и наоборот.
Доказательство.
1. Дано — моногенна в точке , т.е.
,
где
при
,
а
,
если
.
Тогда
.
Ho
,
и
мы
имеем
2.
Дано
,
т.е. имеем
(3.10). Из (3.10)
,
где
при
,
т.е. имеем
. (3.11)
Из (3.11) следует, что функция моногенна в точке . Теорема доказана.
Из сказанного выше следует, что если функция моногенна в точке , то для неё легко могут быть получены следующие правила дифференцирования, которые мы приводим без доказательства:
1.
,
если
.
.
.
4.
.
5.
.
6.
Если
,
,
то
при условии, что
.
11. Аналитические функции
Определение 3.4.
Комплексная функция называется аналитической в области , если она моногенна в каждой точке этой области.
Пример 1.
— аналитична во всей комплексной плоскости.
Определение 3.4.
Комплексная функция называется аналитической в точке , если она аналитическая в некоторой окрестности этой точки.
Аналитические функции образуют подмножество множества всех комплексных функций. Они обладают целым рядом иимечательных свойств, имеют многочисленные приложения в различных вопросах математики и естествознания.
Теорема 3.5. (Достаточное условие аналитичности)
Пусть
.
Если в каждой точке
области
функции
и
имеют непрерывные частные производные
и выполняются
условия Коши-Римана, то функция
аналитична в области
.
Доказательство.
Из
непрерывности
,
,
,
в любой точке области
следует дифференцируемость функций
и
в
.
А тогда на основании теоремы 3.3. будем
иметь, что функция
моногенна в любой
точке области
,
т.е. аналитична в области
.
Как будет показано в дальнейшем, все элементарные комплексные функции аналитичны в своих областях определения.
12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть
функция
в точке
аналитическая и
.
Рассмотрим
гладкую кривую
,
проходящую через точку
.
Пусть
– образ кривой при отображении
,
a
–образ
точки
(рис.3.1). На кривой
возьмем произвольную точку
,
которая отобразится в точку
кривой
.
Согласно определению производной имеем
. (3.18)
Отсюда получим
,
где
при
.
Таким образом
. (3.19)
Так
как
является бесконечно малой более высокого
порядка по сравнению с
при
,
то
равенство (3.19) запишется
следующим образом
. (3.20)
Примем
во внимание, что
,
из paвенства
(3.20) получим:
. (3.21)
В равенстве (3.21) отбросим второе слагаемое в правой части. Будем иметь приближенное равенство:
откуда
(3.22)
В
плоскости рассмотрим окружность
.
Тогда из (3.22) получим
,
т.е. окружность при наших условиях функция отображает с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с на окружность радиуса
.
Очевидно,
круг
отображается
с точностью до малых более высокого
порядка, чем
,
на круг
.
Величина
(3.23)
называется коэффициентом линейного растяжения в точке при отображении .
Так
как
, (3.24)
то из (3.23) и (3.24) заключаем, что модуль производной в точке если , является коэффициентом линейного растяжения в этой точке при отображении .
Пример 1.
Пусть
.
Найти
коэффициент линейного растяжения в
точке
,
осуществляемого данной функцией при
отображении.
Решение.
Найдем
производную функции
,
а затем
.
Имеем
.
Следовательно,
коэффициент линейного растяжения в
точке
при
отображении
равен
.
Выясним теперь геометрический смысл аргумента. Имеем
. (3.25)
Так
как аргумент частного двух комплексных
чисел равен разности
их аргументов, то из (3.25) получим
. (3.26)
,
–
это соответственно углы
и
,
которые векторы
и
образуют с действительной осью на
плоскости и соответственно.
,
–
это соответственно углы
и
,
составляемые
касательными к кривым
и
соответственно в точке
и
с действительной осью.
Таким
образом, из (3.26) получаем
, (3.27)
т.е. аргумент производной в точке показывает угол поворота касательной к кривой в точке при отображении .
Пример 2.
Пусть
.
Найти
угол поворота линии в точке
при отображении
.
Решение.
Имеем
,
,
.
Таким образом, угол поворота равен .
Рассмотрим
еще одну гладкую кривую
проходящую через
точку
.
Пусть
образом кривой
при отображении
будет кривая
,
проходящая через точку
.
Угол между касательной к кривой
в точке
и действительной осью обозначим через
,
а угол меледу касательной к кривой
,
в
точке
и
действительной
осью – через
.
Согласно
геометрическому смыслу аргумента
производной
.
(3.28)
Из
равенств (3.27) и (3.28) следует
.
Таким образом, доказали следующую теорему.
Теорема 3.8.
Если
функция
аналитическая
в точке
и
,
то
это отображение
сохраняет углы между кривыми,
пересекающимися в точке
.