![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Комплексные числа
- •2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- •3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •4. Комплексной функции комплексного переменного
- •5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- •6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- •7. Предел комплексных функций
- •8.Непрерывность комплексных функций
- •9. Моногенность комплексных функций
- •10. Производная
- •11. Аналитические функции
- •12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •13. Конформные отображения
- •14. Линейная функция
- •15. Степенная функция с натуральным показателем
- •16. Показательная функция
- •17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- •18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- •19. Гиперболические функции комплексного переменного
- •20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- •21. Обратные тригонометрические функции
- •22. Интегрирование комплексных функций
- •Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- •23. Теорема Коши для односвязной области
- •24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- •25. Теорема Коши для многосвязной области
- •26. Формула Коши
- •27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- •30. Числовые комплексные ряды
- •31. Функциональные комплексные ряды
- •32. Степенные комплексные ряды
- •33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора
17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
Задача
1. Найти
оброз горизонтальной прямой
при отображении
.
Решение.
Пусть
– любая точка прямой
,
где
(рис.4.9).
Тогда
.
Но
,
.
Если
изменяется от
до
,
то
изменяется
от
до
.
остается
неизменным. Если
изменяется от
до
,
a
не изменяется, то точки
«пробегает» прямую
,
а
тогда образ точки
при отображении
«продвигается»
по лучу
,
образующему угол
с осью
в плоскости ,
так как
изменяется в этом случае от
до
,
а
остается неизменным.
И так, образом прямой , где при отображении является луч , образующий угол с осью на плоскости .
Задача решена.
Задача 2. Найти образ вертикальной прямой при отображении .
Решение.
Пусть
– любая точка прямой
(рис.4.10), где
.
Образ
этой точки – точка
.
Если
изменяется от
до
,
то точка
«пробегает»
прямую
снизу вверх, а образ этой точки при
отображении
точка
будет
описывать «бесконечное» число раз
окружность
.
З
адача
решена: образом прямой
при отображении
является
окружность
в плоскости .
Задача
3. Найти
образ горизонтальной полосы шириной
р
при отображении
.
Решение.
Рассмотрим
произвольную горизонтальную прямую
:
,
лежащую
в горизонтальной полосе, ограниченной
прямыми
,
где
и
,
где
(рис.4.11).
О
бразом
прямой
,
как
мы установили при решении задачи
,
является луч
в
плоскости , образующий угол у
с осью
.
При
изменении
от
до
,
прямая
перемещается
от прямой
к прямой
и «заметает» в плоскости горизонтальную
полосу шириной
.
О
браз
прямой
– луч
будет
перемещаться при этом от луча
к
лучу
(
изменяется от
до
)
и опишет на плоскости
угол величиной
.
З
адача
решена: образом горизонтальной полосы
шириной
при отображении
является
угол на плоскости с вершиной в начале
координат
величины
.
Замечание. Если открытая горизонтальная полоса имеет ширину не больше , то, как мы отметили в свойствах функции , эта функция однолистна в данной полосе.
Кроме
того, в каждой точке комплексной
плоскости, а значит и в каждой
точке полосы
.
Однолистность
функции
в
рассматриваемой полосе и условие
обеспечивает конформность отображения
полосы шириной
на угол величины
с вершиной в начале координат.
18. Тригонометрические функции комплексного переменного
Тригонометрические
функции
и
определяются следующими
равенствами:
; (4.15)
. (4.16)
Это
определение естественно, так как при
действительном
из
определения показательной функции
(формула (4.7)) имеем
;
.
Установим некоторые свойства тригонометрических функций.
1.
Тригонометрические
функции
и
определены
для всех
,
так как для всех
определена показательная функция
.
2. Известные тригонометрические тождества остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексного переменного.
Например,
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Докажем, например, что .
Действительно,
имеем
3. Функции , непрерывны во всей комплексной плоскости, так как непрерывна в каждой точке комплексной плоскости функция .
4. Функции и являются периодическими с периодом .
Действительно, имеем
;
.
Докажем, что у функций , периодов, отличных от , , не существует.
В
самом деле, если
– есть период функции
,
то
.
При
получаем
.
Отсюда
следует, что
,
или
.
Положим
,
тогда
,
.
Отсюда
следует, что
,
,
,
,
т.е.
,
и так как
,
то
есть четное число
и
,
,
5. Функция
– нечетная, a
– четная, т.е.
;
.
Эти равенства легко проверить, если воспользоваться формулами (4.15) и (4.16).
6. Функции
и
являются аналитическими во
всей комплексной плоскости.
Проверим это, например, для функции . Выделим действительную и мнимую части функции :
.
Отсюда
имеем, что
;
. (4.17)
Легко проверить, что условия Коши-Римана ;
выполняются
для всех
.
Так как функции
и
имеют
непрерывные частные производные и
условия Коши-Римана
выполняются для всех
,
то
функция
является
аналитической во всей комплексной
плоскости.
По формуле – вычислим производную функции .
.
Аналогичным
образом доказывается, что
.
7. Некоторые
свойства тригонометрических функций
не сохраняются
при переходе от действительного аргумента
к комплексному.
Может оказаться, что
или
.
В
самом деле
,
при
стремится к
и, следовательно,
принимает
сколь угодно большое значение. Другими
словами функции
и
неограничены во всей комплексной
плоскости.
8. Уравнения
и
имеют решения только при
,
т.е. только на действительной оси.
Следовательно,
,
если
,
,
а
,
если
,
,.
В самом деле, пусть . (4.18)
Тогда
из (4.17) следует, что
,
т.е.
.
Отсюда
имеем
.
Из
первого уравнения системы следует, что
,
так как
для любого
.
Из второго уравнения системы получим,
что
,
так как при
.
Но
тогда
и только тогда, когда
.
Таким
образом,
,
.
Функции
и
определяются формулами:
;
.
Так
как
при
,
,
то в этих точках
функция
не определена. Аналогичным образом
функция
определена всюду на комплексной
плоскости, кроме точек
,
.