![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Комплексные числа
- •2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- •3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •4. Комплексной функции комплексного переменного
- •5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- •6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- •7. Предел комплексных функций
- •8.Непрерывность комплексных функций
- •9. Моногенность комплексных функций
- •10. Производная
- •11. Аналитические функции
- •12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •13. Конформные отображения
- •14. Линейная функция
- •15. Степенная функция с натуральным показателем
- •16. Показательная функция
- •17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- •18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- •19. Гиперболические функции комплексного переменного
- •20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- •21. Обратные тригонометрические функции
- •22. Интегрирование комплексных функций
- •Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- •23. Теорема Коши для односвязной области
- •24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- •25. Теорема Коши для многосвязной области
- •26. Формула Коши
- •27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- •30. Числовые комплексные ряды
- •31. Функциональные комплексные ряды
- •32. Степенные комплексные ряды
- •33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора
31. Функциональные комплексные ряды
Функциональным комплексным рядом называется ряд
где
-
комплексные функции комплексного
переменного, заданные на некотором
множестве Е комплексных чисел. В
дальнейшем комплексные функции
комплексного переменного будем
называть комплексными функциями).
Сумма
называется частичной суммой ряда (6.16).
Определение 6.4.
Комплексный функциональный ряд называется сходящимся в точке множества , если сходится следующий числовой комплексный ряд
(6.17)
где
-
числа - значения функций
в точке
.
Определение 6.5.
Функциональный
комплексный ряд (6.16) называется сходящимся
к функции
на множестве Е если он сходится в каждой
точке
и сумма этого ряда в произвольной точке
равна
.
Пример 1.
Рассмотрим ряд
(6.18)
который
в дальнейшем будем называть геометрическим
рядом. Здесь
-
функции заданные на всем множестве
комплексных чисел
.
(6.19)
Очевидно вспомогательное тождество
(6.20)
(Тождество хорошо известно для . Используя метод матиндукции, его можно доказать для любого ).
Из (6.20) имеем
Откуда на основании (6.19) имеем
Пусть
- любое комплексное число. При
функциональный комплексный ряд (6.18)
превращается в комплексный числовой
ряд
(6.22)
Частичная сумма последнего ряда на основании (6.21) имеет вид
(6.23)
Из (6.23) следует
(6.24)
Отсюда
видно, что если
,
то
при
А это значит, что
при
т.е.
(6.26)
Поскольку
-
любое комплексное число, модуль которого
меньше 1, то мы доказали, что функциональный
ряд (6.18) сходится в круге
(рис.6.1) к функции
которая в этом случае и является суммой
функционального ряда в круге
.
Очевидно,
при
-й
член ряда (6.18)
не стремится к нулю, необходимый признак
сходимости ряда не выполняется, и при ряд (6.18) расходится.
Определение 6.6.
Функциональный
ряд (6.16) называется равномерно сходящимся
к своей сумме
на множестве
,
если для любого
существует
,
что для всех
и всех
выполняется неравенство
.
Обозначив
определение равномерной сходимости
ряда (6.16) можно сформулировать так:
функциональный ряд называется равномерно
сходящимся к своей сумме
на множестве
,
если для любого
существует
,
что для всех
и
всех
выполняется
неравенство
Укажем важный для приложений достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 6.3.
Если числовой положительный ряд
сходится и для всех
то
функциональный комплексный ряд
равномерно сходимся на множестве
.
Доказательство.
Так
как ряд
сходится, то для любого
существует такой номер
,
что
при
.
Из неравенства
и сходимости числового положительного
ряда
имеем, что функциональный ряд
сходится абсолютно в каждой точке
множества
.
Учитывая, что
при всех
,
получим
для любого и любого , что и доказывает равномерную сходимость ряда на множестве .
Пример 2.
Покажем,
что ряд (6.18) равномерно сходится во
всяком круге
.
Рассмотрим числовой положительный ряд
где
(6.27)
Ряд
(6.27) представляет собой геометрическую
прогрессию и сходится при
1.
В круге
имеем
(6.28)
при
По теореме (6.3) в силу (6.28) ряд (6.18) равномерно сходится в круге .
Замечание 1.
Следует
заметить, что в круге
ряд
сходится, но неравномерно. В самом деле,
мы
знаем, что в круге
ряд (6.18) сходится к сумме
,
т.е
Имеем также
Отсюда видно, что для любого мы не можем добиться выполнения неравенства
(6.29)
для всех из круга , одновременно, ибо при
а значит при
т.е.
и
неравенство (6.29) невозможно для всех
из круга
одновременно.
Также, как и для действительных рядов доказываются следующие две теоремы. Теорема 6.4.
Если функциональный комплексный ряд составлен из функций непрерывных на множестве и равномерно сходится на этом множестве, то и сумма ряда
будет функцией непрерывной на множестве .
Доказательство.
Пусть - произвольная точка множества докажем непрерывность суммы ряда в этой точке.
Возьмем
произвольное число
.
Так как функциональный ряд
равномерно сходится на множестве
,
то можно найти такой номер
,
что для всех
и всех
выполняется неравенство
где
Зафиксируем
теперь какой-нибудь номер
и
рассмотрим частичную сумму ряда
с этим фиксированным номером.
Так
как
непрерывна
в точке
,
то для числа
можно найти такое
, что для всех
,
удовлетворяющих условию
выполняется неравенство
Теперь
для разности
получим
для
всех
,
удовлетворяющих условию
Таким
образом, мы доказали, что для любого
можно найти такое
,
что для 2, удовлетворяющих условию
, выполняется неравенство
Непрерывность
в произвольной точке
доказана.
Этим самым доказана ее непрерывность
и на множестве
.
Теорема 6.5.
Если
составленный из непрерывных функций
ряд
равномерно
сходится в области
к сумме
то этот ряд можно интегрировать почленно
по любой спрямляемой дуге
,
целиком расположенной в области
, т.е.
(6.80)
Доказательство.
Интеграл
имеет смысл, так как, по теореме 6.4.
непрерывна
в
.
Так
как ряд
сходится равномерно в области
,
то для любого заданного
можно указать такой номер
что для всех
при
где
-
длина дуги
,
a
Тогда
что и доказывает теорему.
Пример 3.
(6.31)
Пусть
произвольная кривая принадлежащая
кругу
(рис. 6.2). Функции
- непрерывные на всей комплексной
плоскости, а значит, и на кривой
.
Следовательно,
В предыдущей теореме было отмечено, что при определенных условиях комплексные функциональные ряды можно почленно интегрировать. Возникает вопрос: при каких условиях можно комплексный ряд дифференцировать? Ответ на это вопрос дает следующая теорема.
Теорема 6.6 (Вейерштрасса).
Если функциональный ряд
составлен
из функций аналитических в области
и равномерно сходится во всяком замкнутом
круге
,
то сумма ряда есть функция аналитическая
в области
и ряд можно почленно дифференцировать
любое число раз, т.е. для любого
, имеем
(6.32)
(6.33)
Доказательство.
Докажем, что при условиях теоремы сумма ряда есть функция аналитическая в области . Пусть - любая точка из области . Построим круг с центром в точке . Пусть - любая спрямляемая замкнутая кривая, которая принадлежит круг
(рис.6.3).
По условию теоремы ряд (6.33) равномерно сходится в круге и составлен из аналитических, а значит, непрерывных в области функций.
Тогда
по теореме 6.4 сумма ряда есть функция
непрерывная, а по теореме 6.5 ряд можно
почленно интегрировать по любой замкнутой
кривой
,
т.е.
По теореме Коши для односвязной области имеем :
(6.35)
при
Из (6.34) и (6.35) имеем
(6.36)
для
любой замкнутой кривой
.
Из (6.36) на основании теоремы Морера
следует, что в круге
функция
есть функция аналитическая, а значит в
точке
функция
дифференцируема. Поскольку
- произвольная точка из области
,
то мы получили, что функция
дифференцируема в каждой точке области,
а это означает аналитичность функции
в области
.
Первая часть теоремы доказана.
2.
Разделим левую и правую части равенства
(6.33)
и получим
ряд (6.37) в силу равномерной сходимости ряда (6.33) в замкнутом круге будет равномерно сходится на окружности ограничивающей этот круг. Следовательно, по теореме 6.5 ряд (6.37) можно почленно проинтегрировать по кривой .
(6.38)
На основании интегральных формул для производных т-то порядка (см. параграф "Бесконечная дифференцируемость аналитических функций") из (6.38) получим
(6.39)
Так как - произвольная точка области , то из (6.39) мы получили, что в каждой точке области ряд (6.33) можно почленно дифференцировать любое число раз.
Теорема доказана.