9. Моногенность комплексных функций

Моногенность и аналитичность - основные понятия в теории комплексных функций. Известно, что если , a – непрерывные функции в некоторой точке , то непрерывной будет и комплексная функция в этой точке.

Если функция и дифференцируемы в точке , то дифференцируемым в этой точке будет отображение из в , задаваемое парой функций

и .

Однако комплексная функция в этом случае, как мы увидим дальше, с необходимостью не будет дифференцируемой в точке но, в том смысле, что ее приращение в этой точке будет иметь вид:

, (3.1)

где не зависит от , a при .

Вспомним определение дифференцируемости действительной функции двух действительных переменных.

Определение 3.1.

Действительная функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке

можно представить в виде

, (3.2)

где , , а , при .

Теорема 3.1.

Если. частные производные , существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Определение 3.2.

Комплексная функция называется моногенной пли дифференцируемой в смысле комплексного анализа в точке , если ее приращение в этой точке имеет вид (3.1).

Теорема 3.2.

Если комплексная функция мопогенна в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Если функция моногенна в точке , то, как следует из соотношения (3.1),

,

а это значит, что функция непрерывна в точке .

Исследуем теперь, при каких условиях комплексная функция моногенна в точке . Для этого запишем более подробно приращение этой функции

;

;

или более кратко

. (3.3)

Теорема 3.3. (Необходимое и достаточное условие моно­генности)

Для того, чтобы комплексная функция была моногенной в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были дифференцируемы ее действительная часть и мнимая и выполнялись условия Коши-Римана (К.–Р.) в этой точке

,

или кратко:

, (К.–Р.)

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть функция – моногенна и точке , т.е. имеем (3.1), где

, , , .

В силу последних равенств равенство (3.1) можно переписать в виде:

;

, (3.4)

. (3.5)

Из (3.4) и (3.5) следует, что функция и дифференцируемы в точке и при этом

(К.-Р.)

Необходимость доказана.

И. Достаточность. Пусть функции функция и дифференцируемы в точке и выполняются условия Коши-Римана. Покажем, что комплексная функция моногенна в точке .

Из дифференцируемости функций и следует

, (3.6)

, (3.7)

где , , , при ,

и т.п.

. (3.8)

Используя условия Коши-Римана, равенство (3.8) можно записать в виде

.

или в виде

, (3.9)

где ,

.

Легко показать, что при , так как

,

и , , , при .

Итак:

(3.9)

и при , что и означает моногенность функции в точке .

Что и требовалось доказать.

Пример 1.

.

, .

; , , –

непрерывные в любой точке . Отсюда следует, что функции и дифференцируемы в каждой точке . Легко заметить, что в каждой точке выполняются и условия Коши-Римана, а значит, по теореме 3.3. функция моногенна в каждой точке комплексной плоскости.

Пример 2.

, , .

; , , .

Условия Коши-Римана не выполняются ни в одной точке плоскости, а значит функция , не моногенна ни в одной точке комплексной плоскости.