21. Обратные тригонометрические функции

Известно, что уравнение (4.27)

имеет решение при любом .

Решение уравнения (4.27) будем обозначать символом Иными словами, есть множество всех значений , удовлетворяющих уравнению Найдем формулу для вычисления . Заменяя в (4.27) через получим

Последнее равенство разрешим относительно Найдем

Отсюда (4.28)

Или .

Аналогичные формулы могут быть получены и для

Так, например, или

Из (4.28) следует, что при любом , так как , существует и имеет бесконечно много значений.

Если - действительное число и то

И

В этом случае все значения действительные и сов­падают со значениями .

Пример.

Вычислить

Решение.

Далее, поэтому

Очевидно, поэтому

22. Интегрирование комплексных функций

Для построения интеграла от комплексных функций нам потребуется вспомнить некоторые понятия, известные из предыдущих разделов курса математического анализа.

Определение 5.1.

Непрерывной плоской кривой называется множество точек плоскости, координаты которых определяются равенствами вида где функции и непрерывны на отрезке

Непрерывная кривая называется гладкой на отрезке если производные непрерывны на и одновременно в нуль не обращаются.

Пример 1.

— полуокружность — непрерывная глад­кая кривая, так как непрерывны на отрезке вместе с производными и эти производные одновре­менно в нуль не обращаются на (рис. 5.1).

Вспомним также определение криволинейного интеграла второго ро­да. Для определения последнего нам необходимо иметь спрямляемую непрерывную кривую с указанным ней направлением, например, от А к а также действительную функцию двух действительных переменных , заданную на этой кривой (рис. 5.2). Разбиваем кривую точками на частей произвольным образом.

Назовем эти части кривой элементарными дугами.

На каждой элементарной дуге произвольно выбираем точку и составляем интегральную сумму

где

Пусть

Определение 5.2. называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции по кривой в направлении от точки до точки . Обозначение

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции :

Сумму этих двух интегралов также называют криволинейным интегралом и обозначают символом

Итак, по определению

Пример 2.

Вычислить где -парабола

Решение.

(Вместо подставили , ).

Определение интеграла от комплексной функции. Пусть задана непрерывная спрямляемая кривая и указано направление на этой кривой, например, от до . На кривой задана также комплексная функция.

Разбиваем кривую точками

точку обозначим через , точку - через ) на частей произвольным образом (рис. 5.3). Между соседними точками деления кривой на части произвольно выбираем точки

Составим сумму где

Сумму назовем интегральной суммой комплексной функции по кривой в направлении от к . Пусть

Определение 5.3.

Комплексное число называется пределом интегральной суммы при если для что для любого разбиения кривой на части и произвольного выбора точек имеем как только

Определение 5.4.

Интегралом от комплексной функции по кривой в направлении от к называется предел интегральной суммы при

Обозначается интеграл символом .

И так, по определениюь

Замечание 1.

Если кривая замкнута, т.е. , то определение интеграла остается прежним. В этом случае направление интегрирования можно выбирать двумя способами.