19)Первая и вторая задача динамики точки

Первая задача.

Зная массу точки и ее движение, найти силы, действующие на точку или их равнодействующую. Решение этой задачи в общем виде осуществляется следующим образом.

Пусть составлены или используются дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме. Известно и движение материальной точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Согласно уравнениям (4) предыдущего параграфа, дважды дифференцируя законы движения точки, находим проекции ускорения на оси координат: a_x = x''; a_y = y''; a_z = z'', а затем проекции равнодействующей: F_x = mx''; F_y = my''; F_z = z''. Зная проекции равнодействующей на оси прямоугольной системы координат, находим величину равнодействующей:

(1)

а ее направление определяем тремя направляющими косинусами:

(2)

Если составлены или используются дифференциальные уравнения движения в естественной форме и известно движение точки по траектории s = s(t), то, согласно уравнениям (6) п. 1, вначале находим проекции ускорения на естественные оси a_τ = s'' и a_n = s'² / ρ, если радиус кривизны известен, а затем проекции равнодействующей, лежащей в соприкасающейся плоскости, равные: T_τ = ms''; F_n = ms'² / ρ. Модуль равнодействующей и ее направление определяем по следующим формулам:

(3)

где α - угол между равнодействующей F и ее нормальной составляющей F_n.

Для определения всех сил по найденной равнодействующей нужно знать ряд дополнительных условий. Так, например, при решении первой задачи динамики несвободной материальной точки нужно знать направления реакций связей, которые в большинстве случаев можно определить, зная свойства связей. Эти свойства подробно рассмотрены в статике. Если на точку действует одна активная сила, то формулы (1) - (3) полностью определяют вектор этой силы.

Рекомендации по решению первой задачи динамики точки.

Здесь мы приведем общие рекомендации по решению первой задачи динамики с помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки. Задачу следует решать в таком порядке.

1. Составить дифференциальные уравнения, используя рекомендации, изложенные в предыдущем параграфе.

2. По известному движению материальной точки найти проекции ускорения на оси координат, которые выбраны для составления дифференциальных уравнений.

3. Подставляя проекции ускорения в составленные дифференциальные уравнения, найти проекции равнодействующей сил, приложенных к точке.

4. Используя дополнительные условия, например, направления реакций связей, определить по равнодействующей силы, приложенные к точке. Если на точку действует одна сила, то для нахождения величины и направления этой силы можно использовать формулы (1) - (3), полученные для равнодействующей.

5. Проанализировать полученное решение.

Вторая задача.

Зная приложенные к точке силы, а также ее массу, определить ее движение, описываемое кинематическими уравнениями.

Решая задачу в прямоугольной системе координат, когда используются уравнения (4) из предыдущего параграфа, мы, чтобы найти кинематические уравнения движения x = x(t); y = y(t); z = z(t), должны проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. Если система уравнений интегрируется, то множество ее решений будет функциями времени и шести постоянных интегрирования:

x = x(t, C1, C2, ... C6); y = y(t, C1, C2, ... C6); z = z(t, C1, C2, ... C6)

(4)

Чтобы найти единственное решение системы, нам нужно задать или определить по условиям задачи шесть начальных условий. Этими начальными условиями являются координаты и проекции скорости точки в начальном положении в начальный момент времени, который чаще всего принимается за начало отсчета времени, когда t₀ = 0. Начальными условиями будут:

x(0) = x0; y(0) = y0; z(0) = z0; x'(0) = V0x; y'(0) = V0y; z'(0) = V0z

(5)

Для определения всех шести постоянных интегрирования дифференцируем по времени выражение (4), находя еще три соотношения, содержащие постоянные интегрирования:

x' = x'(t, C1, C2, ... C6); y' = y'(t, C1, C2, ... C6); z' = z'(t, C1, C2, ... C6)

(6)

Подставляя в (4) и (6) начальные условия при t = t₀ = 0, получаем систему шести алгебраических уравнений для нахождения постоянных интегрирования. Находя из этой системы уравнений постоянные интегрирования и подставляя их в выражения (4) получаем единственное решение задачи, соответствующее начальным условиям. Заметим, что в ряде случаев дифференциальные уравнения допускают последовательное интегрирование и последовательное нахождение постоянных интегрирования.

При рассмотрении движения точки в естественной системе координат используются дифференциальные уравнения (6) предыдущего параграфа. Общее решение первого из этих уравнений имеет вид s = s(t, C₁, C₂). Начальными условиями движения в этом случае являются значения дуговой координаты и значение начальной скорости в начальный момент времени: s(0) = s₀; s'(0) = V₀. Определив на основании начальных условий постоянные интегрирования, подставив их в общее решение, находим единственное решение этого дифференциального уравнения или уравнение движения точки по траектории при заданных начальных условиях: s = s(t). Второе дифференциальное уравнение можно использовать для определения радиуса кривизны траектории ρ = ρ(t), подставляя в него первую производную по времени от найденного закона изменения дуговой координаты.

Таким образом, вторая задача динамики решается как задача Коши с заданными начальными условиями.

Рекомендации по решению второй задачи динамики материальной точки.

Вторую задачу динамики, можно решать в такой последовательности.

1. Составить дифференциальные уравнения для конкретного случая движения материальной точки, используя рекомендации, изложенные в п.1.

2. Определить и записать начальные условия задачи.

3. Проинтегрировать дифференциальные уравнения в соответствии с методами, известными из курса математики, определяя постоянные интегрирования с помощью начальных условий, для нахождения единственногорешения.

4. Проанализировать полученный в решении закон движения материальной точки в зависимости от конкретных вопросов в задаче и найти ответы на них.

20) Дифференциальное уравнение движения материальной точки

Векторная форма (2-й закон Ньютона):

Координатная форма (2-й закон Ньютона в проекциях на оси декартовых координат):

Естественная (эйлерова) форма (2-й закон Ньютона в проекциях на оси естественных координат):

где х, у, z - координаты точки массой m; X, Y, Z - проекции действующей на точку силы (или равнодействующей действующих на точку сил)   на оси декартовых координат;  - проекции силы   на оси естественных координат: касательную Т, главную нормаль N и бинормаль В (см. рис. 1).

Рисунок 1.

Если точка является несвободной (на движение точки наложены связи), в число действующих на точку сил включаются реакции связей.

Силы, входящие в правую часть дифференциальных уравнений движения, в общем случае могут являться функциями от времени t, скорости v и координат х, у, z точки.