14)Сложное движение точки

Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O1x1y1z1). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат.Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона)

Теорема о сложении скоростей

,  -орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца   и т.д., Þ:  ,

;  – относительная скорость.

; переносная скорость:  , поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v_e) и относительной (v_r) скоростей  , модуль: .

15)Теорема о сложении ускорений (Кориолиса)

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): 

 и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения  : 1)  – ускорение полюса О;

2) 

3)  – относительное ускорение точки;

4)  ,

получаем:  .

Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении:   – ускорение полюса О;   – вращательное уск.,   – осестремительное уск., т.е.  . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):  , где   – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: а_с= 2×|w_e×v_r|×sin(w_e^{^}v_r), направление вектора  определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90^о в направлении вращения.

16)Плоскопараллельное движение тела.

Плоскопараллельным движен ием твердого тела называется движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Это движение определяется движением плоской фигуры - проекции тела на плоскость, параллельно которой происходит движение (рис. 1).

Рисунок 1.

Положение плоской фигуры в плоскости хOу определяется координатами х₀, у₀ произвольно выбранного полюса О и углом поворота φ вокруг полюса.

Уравнения движения:

Скорость и ускорение при плоскопаралельном движении

Скорости точек тела при плоскопараллельном движении.  Теорема 1. Абсолютная скорость   любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости   про-извольно выбранного полюса в поступательном движении плоской фигуры и вращательной скорости   во вращательном движении фигуры относительно полюса.  Положение любой точки В тела можно определить равенством (рис. 1.59) 

Взяв производную от обеих частей уравнения по времени получим, 

,

где   - искомая скорость;   - скорость полюса;   - скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при   Таким образом 

 (1.75)

Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, про-ходящую через эти точки, равны и имеют одинаковый знак (рис. 1.60). Зная, что  , спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогда

Теорема 3. Плоская фигура в каждый момент времени имеет одну точку, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС), обозначим ее буквой Р (рис.1.61). Докажем сущест-вование МЦС   тогда точка Р и будет искомой.

|

 

Рис. 1.60 Рис. 1.61 При движении плоской фигуры положение МЦС непрерывно меняется. Графически МЦС находится как точка пересечения перпендикуляров, восста-новленных из двух точек к направлениям их скоростей (рис. 1.62)

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от них до мгновенного центра скоростей.

 

Рис. 1.62 Рис. 1.63

Если за полюс выбран МЦС, то скорость любой точки плоской фигуры есть вращательная скорость вокруг МЦС. Модуль скорости пропорционален расстоянию от точки до МЦС (рис. 1.63).

 

Рис. 1.64 Рис. 1.65

Зная для данного момента времени положение МЦС и скорость какой-либо точки В плоской фигуры, можно определить угловую скорость и скорость любой точки плоской фигуры (рис. 1.64).  Если известна по модулю и направлению скорость одной точки А и на-правление скорости другой точки В, то можно определить скорости всех точек плоской фигуры (рис. 1.65):  1. Известно направление и модуль   и направление    2. Найдем положение МЦС: проведя перпендикуляры к векторам скоростей   и   3. Определим    4.   и т.д.

Определение ускорений точек тела. Абсолютное ускорение любой точки В плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса А и ус-корения точки В во вращательном движении фигуры вокруг полюса (рис. 1.69).

 (1.77)

Движение плоской фигуры задано 

Ускорение   точки В во вращательном движении вокруг полюса найдем по формулам (1.71) и (1.72)   или   и  Вектор   всегда направлен от точки В к полюсу А, вектор   направлен перпендикулярно ВА в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное.  Тогда вместо равенства (1.77) получим:

 (1.78)